证明周期性

chudengshuxue

在正整数数列 $a_0, a_1, \cdots$ 中，$a_0$ 为任意整数，对每个非负整数 $n$，
\[
a_{n+1}= \begin{cases}\frac{1}{2} a_n, & \text { 若 } a_n \text { 为偶数, } \\ a+a_n, & \text { 若 } a_n \text { 为奇数. }\end{cases}
\]
这里 $a$ 为一固定奇数，证明：此数列为周期数列．

realnumber

这样算周期数列吗？
a0=7,a=3
依次是7,10,5,8,4,2,1,4,2,1,.....
试验了几个，似乎a≥a0时，从第一项起就是周期数列

chudengshuxue

回复 2# realnumber


    算，混周期数列。

realnumber

某$n_0$,若$a_{n_0}>a$，$a_{n_0}$为奇数，则$a_{n_0+2}<a_{n_0}$,可见总会有$t=n_1,n_2,...$（大于a的项若有无穷个，则t有无穷个）,$a_{t}\le a$,而不大于a 的数，最多a个，若有$a_s=a_t$,则出现周期.

realnumber

还是不算周期数列，难证，并加条件$a\ge a_0$,

chudengshuxue

回复 5# realnumber

某n0，an0>a没问题，为什么一定可以找到这样的an0，它是奇数？

abababa

回复 1# chudengshuxue

发网友的证明：
设此操作为
\[f(a_n)=\begin{cases}
a_{n+1} & 2 \nmid a_{n+1}\\
\frac{1}{2}a_{n+1} & 2 \mid a_{n+1}
\end{cases}\]
如果$a_n$是偶数，那么必有$f(a_n)<a_n$，如果$a_n$是奇数，也必定存在数$p$，使得只要$a_n\ge p$就有$f(a_n)<a_n$，这是能做到的，只要选择$p=a+1$即可。于是以后的每次操作都必定把$f(a_n)$限定在$S=\{1,2,\cdots,p\}$中，这是有限集，即$f$是有限集$S$到$S$的映射，这种映射只有有限个，经无穷次操作后必定会重复，从此成为周期数列。

力工

类似问题：已知数列${a_n}$满足$a_1=1,a_2=m,a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$，求${a_n}$为周期最小的数列时$m$的值 。

realnumber

回复 6# chudengshuxue


    偶数，总是被除以2，终会变奇数；
奇数太小的话（小于a），就是有限的个集合里面了

Tesla35

数列好