函数问题$f(x)=(a+b)^x-a^x-b^x$

dahool

若$a>0,b>0,f(x)=(a+b)^x-a^x-b^x,x\inR^+$，如何证明当$0<x<1$时，$f(x)<0$，而当$x\geqslant 1$时，$f(x)\geqslant 0$，没有出处，是自己突然根据勾股定理想起来的，大家能给出初等的证明吗？

kuing

极其简单：
当 `0<x<1` 时
\[\left(\frac a{a+b}\right)^x+\left(\frac b{a+b}\right)^x>\frac a{a+b}+\frac b{a+b}=1,\]
即
\[(a+b)^x<a^x+b^x;\]
当 `x\geqslant1` 时
\[\left(\frac a{a+b}\right)^x+\left(\frac b{a+b}\right)^x\leqslant\frac a{a+b}+\frac b{a+b}=1,\]
即
\[(a+b)^x\geqslant a^x+b^x.\]

isee

回复 2# kuing

这一看真是极简。学习了。


太像二项式展开式的一般情况下展开，然后丢一些项。。

这估计就是楼主数学分析方向？

dahool

回复 2# kuing


天哪，一直想用导数处理，没想到这么简单，惭愧！

dahool

回复 3# isee

没有啦，就是当时想离散的能用二项式定理证明，但是无理数的时候应该用函数处理，但是导数没找到出路

其妙

怎么看着像贝努利不等式？