三元分式不等式

lemondian

已知$a,b,c>0$,求证：$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b+c}{1+2abc}$.

是不是要改为：$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b+c}{1+3abc}$.才好？

kuing

题目有没有抄错？现在这个不等式虽然成立但太弱且取不了等号

lemondian

回复 2# kuing


    没错，原题如此。

kuing

回复 3# lemondian

那就没意思了。

首先容易证明
\[\frac ab+\frac bc+\frac ca\geqslant \frac {a+b+c}{\sqrt[3]{abc}},\]
于是只需证 `\sqrt[3]{abc}\leqslant 1+2abc`，这显然成立而且取不了等。

lemondian

回复 4# kuing
哦，
我猜，出题人是不是想看看，此题能不能推广到n元吧？可能没考虑到取等

lemondian

我想是不是将原不等式的分母的数字改为3才对头？

kuing

无语……

lemondian

已知：$a,b,c>0$,求证：
（1）$\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\geqslant \dfrac{a+b}{1+ab}$；
（2）$\dfrac{1}{3}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})\geqslant \dfrac{a+b+c}{2+abc}$;
(3)推广呢？