一个与最值相关的计算问题

力工

表示计算很繁。已知直线$y=kx+2$与曲线$y=e^x$交于$A,B$两点，求$\triangle AOB$面积最小时的$k$值。

色k

我家停电了，只能手写了下，爪机上又发不了图上来，585帮我发下

Tesla35

色k

回复 3# Tesla35

谢谢585

力工

回复 4# 色k
色k神啦！我绕死了。

色k

回复 5# 力工

手写得比较简略，等来电了再码代码

dahool

回复 4# 色k


你这字是认真的嘛

kuing

来了，码一下。

设 `A`, `B` 的横坐标分别为 `x_1`, `x_2`，则\begin{align*}
kx_1+2&=e^{x_1},\\
kx_2+2&=e^{x_2},
\end{align*}易证\[\S{OAB}=\abs{x_1-x_2},\]设\[f(x)=\frac{e^x-2}x,\]则\[f(x_1)=f(x_2)=k,\]由此易知 $\S{OAB}$ 取最小值时必有\[f'(x_1)=f'(x_2),\]求导有\[f'(x)=\frac{e^x(x-1)+2}{x^2},\]所以\[\frac{(kx_1+2)(x_1-1)+2}{x_1^2}=\frac{(kx_2+2)(x_2-1)+2}{x_2^2},\]化简即\[\frac{2-k}{x_1}=\frac{2-k}{x_2},\]由于 `x_1\ne x_2`，所以如果 $\S{OAB}$ 存在最小值，则只能是 `k=2` 时取得，至于最小值存在性是显然的，所以结果就是 `k=2`。

注1：关于“$\S{OAB}$ 取最小值时必有 `f'(x_1)=f'(x_2)`”这一点可以从几何意义看出来，当然也可以严格地证：
\[\frac{\rmd(x_1-x_2)}{\rmd k}=\frac1{\rmd k/\rmd x_1}-\frac1{\rmd k/\rmd x_2}
=\frac1{f'(x_1)}-\frac1{f'(x_2)}.\]
注2：如果将直线改成 `y=kx+b`，其中 `b` 为大于 `1` 的常数，则结论为：当 `k=b` 时面积最小。

kuing

增加了两个注

力工

回复 9# kuing

伏地膜大神，谢谢，有图有解有注释。

敬畏数学

需要好好研究一下此题。

游客