两个函数不等式，切线法

realnumber

1.
$f(x)=x^2+\frac{1}{x+1},x\in [0,1]$
proof:$\frac{68}{81}<f(x)$

要点$\frac{1}{x+1}\ge -\frac{4x}{9}+\frac{8}{9}$,右边是$y=\frac{1}{x+1}$在x=0.5处切线,
2.$f(x)=x^2+\frac{1}{\sqrt{x+1}},x\in [0,1]$
proof:$\frac{15}{16}<f(x)$
要点$\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge -0.5x+1$,在x=0处切线，别的点，比如$x=\frac{7}{9},or \frac{9}{16}$都不能一步到位.

1.能估计出哪处展开精度好，理由？
2.显然上面结论还能更精确，除了把[0,1]分割更多段，和展开更多项，还有什么办法，思路？

isee

回复 1# realnumber

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这个1也是变态(高考范围内），下凸的，就是估计最小值。从牛顿迭代上看，从哪儿算无谓，只是多算几次。

虽然知道用切线替换，不过，用何切线能成功也是要试的。
因此，直接估算一阶导数的零点，只是手工算这组数（1，0.56，0.35，0.30），只精确到0.1发现0.30足够解决此题。










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同样用牛顿迭代法计算了下（当然用的计算机）
这组近似根(1,0.7165,0.5015,0.3467,0.2482,0.2025,0.1925)
0.1925精确到0.01，从1计算收敛很慢。

从0.1开始算，第三次就精确到0.1，第四次精确到0.0001

也许这个计算也是一个参考。