没几何画板的学生

realnumber

设函数$f(x)=\abs{\frac{1}{x-1}-a}-4x+a+1$有两个零点，则实数a=_______
$-\frac{1}{2},\frac{7}{2},4$

joatbmon

1. 我用geogebar画图的不是几何画板哈哈，绍兴二模不知道谁出题的
2. 令$t=\dfrac{1}{x-1}-a,$则$x=1+\dfrac{1}{t+a},$原函数化为$y=|t|-\dfrac{4}{t+a}+a-3,$其零点即$y=|t|$与$y=\dfrac{4}{t+a}-a+3$图像交点横坐标.
3. 将函数$y=\dfrac{4}{t}$的图像按照向量$(-a,-a+3)$平移即得$y=\dfrac{4}{t+a}-a+3$图像,其中心$A(-a,-a+3)$在直线$y=x+3$上运动，题意即寻找这个平移后的反比例函数与函数$y=|t|$有两个交点的情况，如图三种情况
4. 第一种情况，这个反比例函数平移后的一个顶点$(-2-a,-2-a+3)$在$y=-x$图像上，解得$a=-\dfrac{1}{2}$
5. 第二种情况，另一个顶点$(2-a,2-a+3)$在$y=-x$图像上，解得$a=\dfrac{7}{2}$
6. 第三种情况，反比例图像平移后过原点，解得$a=4$(注:另一个$a=-1$舍去，因为中心在左边可知$-a<0$)
7. 综上，$a=-\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2},4$

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joatbmon

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已知$x,y,z$都是正数，求$\max\{\dfrac{x}{y}+z,yz+\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{xz}+y\}$的最小值为
$\max\{\dfrac{x}{y}+z,yz+\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{xz}+y\}\geqslant\max\{\dfrac{x}{y}+z,\dfrac{1}{xz}+y\}\geqslant\sqrt{(\dfrac{x}{y}+z)(\dfrac{1}{xz}+y)}=\sqrt{\dfrac{1}{yz}+yz+x+\dfrac{1}{x}}\geqslant\sqrt{2+2}=2,$取等条件为$\begin{cases}x=1\\
                yz=1\\
                \dfrac{x}{y}+z=\dfrac{1}{xz}+y\geqslant yz+\dfrac{1}{x}\end{cases}.$即$x=y=1,$故本题答案为1