f(f(n))=kn糊涂了，一点也不会

realnumber

设$k\in N^*$,若存在函数$f:N^*→N^*$,且对每个$n\in N^*$,都有$f(f(n))=kn$,则( __ C )
A.f(kn)=nf(k)  B.$f(n^2)=nf(n)  $  C. $f(k^n)=k^nf(1)$D.$f(n^k)=n^kf(1)$
来自《浙江新高考研究2018.4卷五》

kuing

以前见过的类似题中都有单调性这一条件，这道没有，估计水更深……

realnumber

设$k\in N^*$,若存在函数$f:N^*→N^*$,且对每个$n\in N^*$,都有$f(f(n))=kn$,则( __ C )
A.f(kn)=nf(k)  B.$f(n^2)=nf(n)  $  C. $f(k^n)=k^nf(1)$D.$f(n^k)=n^kf(1)$
来自《浙江新高考研究2018.4卷五》

排除法试出一个，令k=1,f(t)=t-1(t为正偶数)，f(t)=t+1(t为正奇数)
这样ABD都不符合,C看不出错误.
这样令f(n)=t
f(f(t))=kt,即f(f(f(n)))=kf(n),得到f(kn)=kf(n),这样利用这条得出C成立.
突然冒出一个疑问,上面C的证明过程中出现如下现象：
“$f_1(f_2(f_3(x)))$，$f_1,f_2$先运算，再和$f_3$运算”与“$f_2,f_3$先运算，再与$f_1$运算”，真的相等？略有糊涂，平时好象都在这样做而没有怀疑。
我不是指$f_1(f_2(x))$与$f_2(f_1(x))$这个当然不一定相等.

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