数列不等式和

力工

最近不知怎么了，回生？

kuing

将第一个递推代入第二个递推得 `a_{n+1}b_{n+1}=a_nb_n`，显然 `b_1=1`，所以 `a_nb_n=a_1b_1=4`，代回去得
\[a_{n+1}=\frac{a_n}2+\frac2{a_n},\]
然后就是常规的不动点套路了
\begin{align*}
a_{n+1}-2&=\frac{(a_n-2)^2}{2a_n},\\
a_{n+1}+2&=\frac{(a_n+2)^2}{2a_n},
\end{align*}
相除得
\[\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+2}=\left( \frac{a_n-2}{a_n+2} \right)^2,\]
通项就可以搞出来了，剩下估计就不难的了。

当然或许不必用到具体通项，可以考虑直接对递推式玩放缩，比如两边平方略掉一些项之类的，反正都是常规手法，就不撸了……

PS、这排版真差，建议码一下。