这网红卷的解析几何是极点极线了，如何说通顺[已顺]

isee

题目来源：网红的荆州中学试题第20（2）——

题干：过点$A(0,-2)$的直线与曲线$\tau:x^2=8y$交于不同的两点$M$、$N$，过点$M$的直线与曲线$\tau$交于另一点$Q$，且直线$MQ$过点$B(2,2)$，求证：直线$NQ$过定点．

这非常明显是极点极线问题，不过，了解一点皮毛，不知道如何说通顺了。


尝试性的说明——（仅供参考）


首先，容易知道极点A的极线HI是过点B的，（这个很重要，由此就可能确定，此题的背景就是极点与极线问题了。）

其次，由于点B在点A的极线HI上，所以，点B的极线亦过点A。

以AB为极线的极点（就是图是的J），是点A的极线HI与点B的极线的交点，不防设此点为J。

即三角形ABJ为自极三角形。

由于，J，B，I，H四点调和，可求得$J(8,2)$，这就是题中要证的NQ过的定点。



以下 证明 “J，N，Q三点共线” 由 kuing 完成，有改动。

设直线MN交HI与D点，由点A的极线是HI，知A，D，N，M四点调和，于是JA，JD，JN，JM为调和线束。

同样的，设直线MQ交AJ于E点（或无穷远点E），由点B的极线是JA，知E，B，Q，M四点调和，于是JE，JB，JQ，JM为调和线束。

这表明这两组调和线束实为同一组调和线束，换句话说：J，N，Q三点共线，证毕。

isee

现在的问题是，如何用极点极线的知识，说明J，N，Q这三点是共线的呢？
一时没头绪了，看来又要翻翻高等几何查相关内容了，可怜的是手上书不知丢哪儿了。

kuing

回复 2# isee

ABC 自极
由 A 的极线是 BC 得 M、N、D、A 调和
由 B 的极线是 AC 得 M、Q、B、E 调和
　　　　　　　　所以 NQ、DB、AE 三线共点
酱紫阔以吗？

kuing

突然觉得我以前也作过这样的图，翻了下果然找到了：
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=938790

isee

回复  isee

ABC 自极
由 A 的极线是 BC 得 M、N、D、A 调和
由 B 的极线是 AC 得 M、Q、B、E 调和
　　　 ...
kuing 发表于 2018-6-6 22:33

在我理解的范围内应该是最简单而有效的了，漂亮，thx。

kuing

话说，人教论坛又不让发帖鸟……

isee

回复 6# kuing


极点在形内，极线在形外时，图形中还不怎么适应。。。还是你火眼金睛。

人论不让发帖（让发也没发的），正说明高考正当时

isee

回复 4# kuing


果然《kuing网络撸题集》（2015冬至版） ，第526页有收录。

isee

不过，话说回来，用来极点极来证圆锥曲线（含退化的圆）下的三点共线，或三线共点有时真是方便极了。