一道不等式问题

longma

其妙

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证法一：令$t=\tan\theta$，$\theta\in[0,\dfrac{\pi}4]$，则$\sqrt{1+t^2}=\sec\theta$，当$t\in(0,1]$时，\[\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}t=\dfrac{\sec\theta-1}{\tan\theta}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{2\sin^2\dfrac{\theta}2}{2\sin\dfrac{\theta}2\cos\dfrac{\theta}2}=\tan\dfrac{\theta}2\leqslant \tan\dfrac{\pi}8=\sqrt2-1\]
故\[\sqrt{1+t^2}\leqslant(\sqrt2-1)t+1\]
显见，当$t=0$时或者$t=1$时上式取等号。
同理，\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$时或者$t=1$时上式也取等号。
以上两式相加即得证。

其妙

证法二：当$t\in(0,1]$时，\[f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}t=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{(\dfrac1t)^2+1}+\dfrac1t}\]
故函数$f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}{t}$在$t\in(0,1]$时是增函数，于是，$f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}{t}\leqslant f(1)=\sqrt2-1$
故\[\sqrt{1+t^2}\leqslant(\sqrt2-1)t+1\]
显见，当$t=0$时或者$t=1$时上式取等号。
同理，\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$时或者$t=1$时上式也取等号。
以上两式相加即得证。
说明：和方法一区别不大。

longma

,多谢，真是高手！膜拜大神！

其妙

回复 4# longma

方法三：以下的坐标$(x,y)$全部表示向量，$|(x,y)|$表示该向量的模。
\[\sqrt{1+t^2}=|(1,t)|=|(t,t)+(1-t,0)|\leqslant|(t,t)|+|(1-t,0)|=\sqrt2t+1-t=(\sqrt2-1)t+1\]
同理，\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$或者$t=1$时，以上两式取等号。
再将以上两式相加即得证。
说明：和方法一、二区别不太大。

其妙

回复 5# 其妙
上面求了最大值，干脆把最小值也求了吧：
以下的坐标$(x,y)$全部表示向量，$|(x,y)|$表示该向量的模。
\[\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1+(1-t)^2}=|(1,t)|+|(1,1-t)|\geqslant|(1,t)+(1,1-t)|=|(2,1)|=\sqrt5\]
当且仅当$t=\dfrac12$上式取等号。
说明：求最小值还有其他不少方法。

kuing

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其妙

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闪走先
kuing 发表于 2013-7-11 01:48

天机不可泄露，一语道破天机，