2018年全国卷I理科第21题 导数 分式+对数 对数均值秒之

isee

第（1）是送分的。
第（2）在（1）的目测下，要求$a>2$,化归为$x_1$（一元），应该有戏。


已知函数$f(x) = \frac 1x - x + a\ln x$．
（1）讨论$f(x) $ 的单调性；
（2）若$ f(x)$ 存在两个极值点$x_1,x_2$，证明：$\frac{f\left(x_1 \right) - f\left(x_2 \right)}{x_1 -x_2} < a – 2$．

kuing

不需要化一元，用韦达定理化简那个不等式，最后刚好为对数平均，很简单

isee

回复 2# kuing

我擦，你都化完了？我动手正在化简呢。如果真是对数平均不等式，那就是化两根商了，只不过，这里两根积为1，很特殊，可化为一元。
韦达定理一定要上场的。

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果然，用$$\sqrt {ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}(<\frac {a+b} 2).$$

kuing

回复 3# isee

给学生讲的话还是化一元好，反正也是很简单的

lemondian

回复 4# kuing

此题与2011年湖南文科考题几乎一样。
听说还有其它题目与以前考差不多，不知有哪些？

isee

回复 5# lemondian

这没什么奇怪的，数学（考试）是有周期的。

还有哪些，我也想知道，不过，我想kuing肯定不关心这个。