2018年江苏卷第14题 集合与数列

isee

相对而言，2018年江苏卷的难度算是大的。

已知集合$A=\{x|x=2n-1,n\in N^*\}$，$B=\{x|x=2^n,n\in N^*\}$．将$A\bigcup B$的所有元素从小到大依次排列构成一个数列$\{a_n\}$．记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则使得$S_n>12a_{n+1}$成立的n的最小值为____．

kuing

这题确实有点那啥啊……

上MMC干掉它

1. AA = Table[2 n - 1, {n, 64}];
2. BB = Table[2^n, {n, 7}];
3. a = Union[AA, BB];
4. s[1] = a[[1]];
5. Do[s[n + 1] = s[n] + a[[n + 1]], {n, 70}]
6. i = 1;
7. While[s[i] <= 12 a[[i + 1]], i++]
8. i

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运行一秒种得出 27

isee

回复 2# kuing


mathematica 确实强大，可惜我不太会。。。

zhcosin

回复 2# kuing
这破程序都要运行一秒，弃 MMC 换 C 保平安

isee

回复 4# zhcosin

1秒只是个感觉吧，应该是瞬间~

kuing

回复 4# zhcosin

误差+-1秒

kuing

原来是可以设置为显示运行时间的：
reference.wolfram.com/language/howto/DisplayT … ANotebookWindow.html

zhcosin

回复 7# kuing

这还差不多

lemondian

话说这题除了列举法，还有其它解法么？

abababa

要求$S_{n+1}>13a_{n+1}$。当$B$中的数达到$2^{k+1}$时（第$k+1$个数），必已经历过$A$中的$1,3,\cdots,2^{k+1}-1$这些奇数，其和为$2^{2(k+1)}$，因此
$S_{k+1+2^k}=(2^1+\cdots+2^{k+1})+2^{2(k+1)}=2 (2^{k+1}-1)+2^{2(k+1)}$，这里的求和$B$中的数必须加到$2^{k+1}$，而不能少。
而$a_{k+1+2^k}$就是$2^{k+1}$，令$2^{k+1}=m$，解$S_{k+1+2^k}>13a_{k+1+2^k}$有$m>11$，所以$k\ge4$，根据下标再计算$k+1+2^k\ge21$。不知道哪里想得不对。

joatbmon

我来个低端做法
大致列一下$a_n:1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,\cdots,$注意到对于有限的前$n$项，多数数字来自集合$A,$不妨当成$a_n=2n-1,$则$S_n>12a_{n+1}$的解是$n\geqslant 25.$首先尝试$n=25,$则$a_{25}=39,a_{26}=41,S_{25}=462<12a_{26}=492,$不满足题意；再尝试$n=26,$则$S_{26}=503<12a_{27}=516,$仍不满足；再尝试$n=27,$则$S_{27}=546>12a_{27}=540,$满足题意.故猜想$n$的最小值为27，只需再证明当$n<27$时，$S_n\leqslant 12a_{n+1}$即可.作为考试，毛想想即可，不需再证明，作为无时间限制的非考试解题，穷举即可

aipotuo

题目来源没确认, 可能会有出入. 问题是这个k如何用n来表示.
集合 $A=\left\{x \mid x=2 n-1, n \in \mathbb{N}^*\right\}, B=\left\{x \mid x=2^n, n \in \mathbb{N}^*\right\}$ ，将 $A \cup B$ 中所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_n\right\}$ ．记 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12 a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $\qquad$ ．

解析 $2^n$ 前有 $2^{n-1}$ 个奇数，则 $2^n$ 与 $2^{n+1}$ 之间有 $2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$ 个奇数．
这个 $a_n$ 弄起来很烦：当 $n \geqslant 3$ 时， $2^k+1 \leqslant a_n \leqslant 2^{k+1} \Longleftrightarrow 2^{k-1}+k+1 \leqslant n \leqslant 2^k+k+1\left(k \in \mathbb{N}^*\right)$ ．