2018年江苏卷第20题 数列+绝对值+不等式

isee

江苏卷的压轴题，这个应该有挑战性


设$\{a_n\}$是首项为${a_1}$，公差为$d$的等差数列，$\{b_n\}$是首项为${b_1}$，公比为$q$的等比数列．
（1）设${a_1}=0,{b_1}=1,q=2$，若$|a_n-b_n|\le b_1$对$n=1,2,3,4$均成立，求$d$的取值范围；
（2）若$a_1=b_1>0,m\in N^*,q\in (1,\sqrt[m]{2}]$，证明：存在$d\in R$，使得$|a_n-b_n|\le b_1$对$n=2,3,\cdots ,m+1$均成立，并求$d$的取值范围（用$b_1,m,q$表示）．

realnumber

这样处理下，两边除以$b_1$,即$\abs{\frac{a_n}{b_1}-\frac{b_n}{b_1}}\le1$---①
点$(n,\frac{b_n}{b_1})$在$y=q^{x-1}$上，点$(n,\frac{a_n}{b_1})$在直线$y-1=\frac{d}{b_1}(x-1)$上
要符合距离差不大于1的条件，必要条件是n=m+1时①要满足，这样直线要夹在AC,AD间，即$\frac{q^m-2}{m}\le \frac{d}{b_1}\le\frac{q^m}{m}$此时可以证明$y=q^{x-1}，x\in [1,m+1]$导数小于AD斜率，即对任意$x\in [1,m+1]$,①都成立.

走走看看

这道题的（2），新东方给出的解答比较简洁：


不过这样解答是否正确呢？
q的最大值与t有关，但这里q被当成常量求导的。

走走看看

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上面的求法有点突兀，但也有点道理。

参考答案不是采用直接求导的方式。
左边用比差法得出最大值，右边采用比商法求最小值。

走走看看

回复 4# 走走看看

不知为何几何画板不能画出以下两个函数的全部图象：


本来想看看x∈(0,1/16)的图象。

走走看看

回复 5# 走走看看


    前者可推导出  在定义区间上，值域为 （2，4）；后者为（4，+∞）。
    就是想用图象验证一下。

kuing

回复 5# 走走看看

它已经画了，只是你没看见。不信你画 f(x/16) 试试

走走看看

回复 7# kuing

谢谢！没想到藏在里面了。