2018年天津卷理科第14题 分段函数+零点

isee

这比北京第14难些，网上说比北京卷易看来有问题。

已知$a>0$，函数$f(x)=\left\{ \begin{matrix}
  x^2+2ax+a,\ \ \ \,x\le 0,  \\
   -x^2+2ax-2a,x>0.  \\
\end{matrix} \right.$若关于$x$的方程$f(x)=ax$恰有2个互异的实数解，则$a$的取值范围是              .

乌贼

如图（只是考场画草图？），$ a $由小到大，直线与两抛物线都相离到与一条相切，一条相离，再到与一条相交，一条相离，然后与一条相交，一条相切，最后是直线与两条相交，所以\[ x^2+2ax+a=ax\\\Delta =a^2-4a=0\\a=4 \]又\[ -x^2+2ax-2a=ax\\\Delta =a^2-8a=0\\a=8 \]有\[ 4< a< 8 \]

isee

回复 2# 乌贼

把分段函数看成两个函数（图象），则这两函数（图象）是关于点$$\left(0,-\frac a2\right)$$对称的，从这个方面讨论也许能成.



哦，不必，原点对称下移。

题设中有限定$a>0$，这样讨论起来省事多了.

当$x\leqslant 0$时，$$f(x)=x^2+2ax+a=(x+a)^2+a-a^2,f(0)=a>0,$$

另外，$x>0$的图象是由$x<0$的图象关于原点对称后再向下平移$a$个单位而来，若$a-a^2\geqslant 0$则$y=ax$与$f(x)$无交点。

故$a-a^2< 0$,此时……

直线与抛物线均在动，有点困难，数形结合，先求直线与两图象相切的情况，即楼上。

眼光放在直线与抛物线y轴左边的图象称为$\Gamma$，当直线$y=ax$与抛物线$\Gamma$相切时，（y轴右边的图象是与直线相离的——$\Gamma$关于原点对称，再下移a个单位——），然后来讨论$a$增加与$\Gamma$交点的个数，如若无交点，则直线与$f(x)$ 无交点。
所以，这个事情比较重要且较困，想清楚了，此法就顺了。

图形上较难，相切交到有两交点，由$x^2+2ax+a=ax$知，$a>4$，而具体过程就是楼上。