内心。。。向量的系数和

aaa

已知点 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$AB=2,AC=3$，若 $\vv{AI}=x\,\vv{AB}+y\,\vv{AC}$，且 $2x+3y=m$，则 $m$ 的取值范围

先变形 $\vv{AI}=2x\dfrac12\vv{AB}+3y\dfrac13\vv{AC}$，想用等和线作，没做出来，只会这一种

设  $BC=a$，则 $1<a<5$


由角平分线定理得
\begin{align*}
\dfrac{AB}{AC}&=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac 23\\
\dfrac{AB}{BD}&=\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{2}{\dfrac 25a}
\end{align*}



则\[AI=\dfrac{5}{a+5}AD\]


由向量交叉法则得\[\vv{AD}=\dfrac 35\vv{AB}+\dfrac 25\vv{AC}\]

所以\[\vv{AI}=\dfrac{3}{a+5}\vv{AB}+\dfrac{2}{a+5}\vv{AC}\]

于是\[2x+3y=m=\dfrac{12}{a+5}\in(\dfrac 65,2)\]

期待有更多解法，谢谢！

zhcosin

内心不用字母I表示，我的内心是崩溃的。。。

aaa

回复 2# zhcosin

改了

isee

交给kuing，论坛其实一大把，让kuing 搜来。。

kuing

回复 4# isee

搜索能力你们还需要提高，所以我就不干了

aaa

回复 5# kuing

露一手

游客

本质上都一样，只是个运算的问题。

敬畏数学

内心的向量表示：$a\cdot\overrightarrow{AI}+b\cdot\overrightarrow{BI}+ b\cdot\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}$,得：$ (a+b+c)\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{AB}+ c\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$,即：$ \overrightarrow{AI}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{a+5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{a+5}\overrightarrow{AC}$,以下做法同一楼。

aaa

回复 8# 敬畏数学

谢谢

aaa

回复 7# 游客

谢谢