正2018边形中的染色问题

12673zf

在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色，求此图中三边颜色都相同的三角形的最小个数。
不太擅长这类问题的处理，求解。

12673zf

我说说自己的想法。
首先可以简单证明平面上6点任意连线，用两种颜色染色，一定存在一个三边颜色一样的三角形。然后就只需要找正2018边形中可以找出多少个这样的6个点了。
没怎么做过组合的题目，不知道这样想对不对，有没有什么问题。希望有大佬可以指导一下。

realnumber

1楼的问题，一点头绪都没。问题哪里里来的啊？
2楼6点的情景，画了好几种图形，似乎至少有2个同色三角形。
7点比6点更复杂，最小一般都要构造出来，2018点...

12673zf

回复 3# realnumber


    这个题目是一个高中生问我的，没出处，在网上搜了一下也没找到，想了半天也没什么好的思路，所以放上来请教一下大家。谢谢回复。

lemondian

是竞赛题，可，我看到答案了。可惜手头无电脑，要不就.放上来了。

lemondian

设 $N$ 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，$M$ 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，$x_i$ 是以第 $i$ 个顶点为端点的红色线段数目，则有
\[
M+N=C_{2018}^3, \quad \sum_{i=1}^{2018} x_i\left(2017-x_i\right)=2 M .
\]
当且仅当每个 $x_i=1008$ 或 1009 时，$N$ 取得最小值 $C_{2018}^3-1009^2 \times 1008=2 C_{1009}^3$． $N=2 C_{1009}^3$ 是可以取到的，例如把线段 $i \rightarrow i \pm j \bmod 2018(1 \leq i \leq 2018,1 \leq j \leq 504)$ 染成红色，其它线段染成蓝色．

12673zf

回复 3# realnumber

出处是2018年安徽初赛（6.30）最后一题（12题）

12673zf

回复 7# 12673zf


    很迷的就是那天9点多有一个学生把这题拍给我看，问我怎么解。现在初赛考试都这么松的吗？