一道不等式題

231908

12673zf

帮你排个版
已知$a,b,c,d∈R, a+b+c+d=0$，
求证：$1296(a^7+b^7+c^7+d^7)^2\leqslant637(a^2+b^2+c^2+d^2)^7$.

12673zf

回复 2# 12673zf

谢谢

想了一下，没什么结果，$1296=(2^4)(3^4)$，但637=7·7·13就没辙了，想象不到何时取等号。
对于一般的$a,b,c,d, (a^2+b^2+c^2+d^2)^7>(a^7+b^7+c^7+d^7)^2> (1/4^5)·(a^2+b^2+c^2+d^2)^7$
不太清楚$a+b+c+d=0$怎么用

kuing

左边还可以再大一些，加强为：
\[\frac{48}{13}\cdot1296(a^7+b^7+c^7+d^7)^2\leqslant637(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]
把13乘过去可以写得更吓人一些：
\[62208(a^7+b^7+c^7+d^7)^2 \leqslant 8281(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]
PS、已将1#的图摆正了

231908

回复 4# kuing

求解

kuing

虽然系数大次数高挺吓人，但其实并没有那么难。

`a`, `b`, `c`, $d\inR$, `a+b+c+d=0`，求证
\[62208(a^7+b^7+c^7+d^7)^2 \leqslant 8281(a^2+b^2+c^2+d^2)^7.\]

证明：设 `a+b=2x`，则 `c+d=-2x`，于是可设 `a=x+y`, `b=x-y`, `c=-x+z`, `d=-x-z`，其中 `x`, `y`, $z\inR$，代入不等式中展开分解，最终可化简为
\[1944x^2(y^2-z^2)^2\bigl(3x^4+5x^2(y^2+z^2)+y^4+z^4+y^2z^2\bigr)^2\leqslant 169(2x^2+y^2+z^2)^7,\]
只需证
\[1944x^2(y^2+z^2)^2\bigl(3x^4+5x^2(y^2+z^2)+(y^2+z^2)^2\bigr)^2\leqslant 169(2x^2+y^2+z^2)^7,\]
令 `u=x^2`, `v=y^2+z^2`，则 `u`, `v\geqslant 0`，上式即
\[1944uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\leqslant 169(2u+v)^7,\]
因式分解为
\[(4u-v)^2(1352u^5+5408u^4v+8624u^3v^2+6244u^2v^3+1774uv^4+169v^5)\geqslant 0,\]
显然成立，即得证。

PS、有取等条件 `a:b:c:d=1:1:1:-3`，所以加强后的系数是最佳的。

231908

回复 6# kuing

这个因式分解是人做的么

kuing

不是

kuing

最后那里不分解，用凑均值也可以。

待定 `\lambda\in(0,1)`，则由加权均值不等式有
\begin{align*}
&uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\\
={}&4^2\cdot39^2\cdot(u^2)^{(1-\lambda)/2}\cdot\left( \frac{uv}4 \right)^\lambda\cdot\left( \frac{v^2}{16} \right)^{(2-\lambda)/2}\cdot\left( \frac{3u^2+5uv+v^2}{39} \right)^2\\
\leqslant{}&4^2\cdot39^2\cdot\left( \frac27 \right)^{7/2}\left( \frac{1-\lambda}2\cdot u^2+\lambda\cdot\frac{uv}4+\frac{2-\lambda}2\cdot\frac{v^2}{16}+2\cdot\frac{3u^2+5uv+v^2}{39} \right)^{7/2},
\end{align*}
取 `\lambda=62/117`，代入化简即得
\begin{align*}
uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2&\leqslant16\cdot39^2\cdot\left( \frac27 \right)^{7/2}\left( \frac7{72}(2u+v)^2 \right)^{7/2}\\
&=16\cdot39^2\cdot6^{-7}\cdot(2u+v)^7\\
&=\frac{169}{1944}(2u+v)^7,
\end{align*}
所以
\[1944uv^2(3u^2+5uv+v^2)^2\leqslant 169(2u+v)^7,\]

力工

kuing,厉害了word神。