一道椭圆有关的证明题

lemondian

设$P(x,y)$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上任意一点,且满足$\cos y>\sin x$.求证：$a^2+b^2<\dfrac{\pi^2}{4}$

kuing

原题真是这样？一字不差？

lemondian

回复 2# kuing


    一字不差

tommywong

$\cos|b|\ge\cos y>\sin x\ge\sin|a|$

$|b|<\frac{\pi}{2}-|a|$

lemondian

回复 4# tommywong
完了？

tommywong

完了，就是不知道跟這個題目有什麼關係

tommywong

$|a|\ge\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\cos y>1$

$|x|<|a|<\frac{\pi}{2}$

$|b|\ge\pi,y=\pi\Rightarrow -1>\sin x$

$|b|<\pi$

$x=0,y=b\Rightarrow\cos b>0\Rightarrow |y|<|b|<\frac{\pi}{2}$

$\cos|y|>\sin|x|\Rightarrow |x|+|y|<\frac{\pi}{2}\Rightarrow x^2+y^2<\frac{\pi^2}{4}$

$x=\frac{a}{\sqrt{2}},y=\frac{b}{\sqrt{2}}\Rightarrow a^2+b^2<\frac{\pi^2}{2}$

我們已經盡力了