不等式来袭！

力工

已知非负数$a,b,c,d$的和为$1$，证明：（1）$a^2+b^2+c^2+d^2+12\sqrt{abcd}\leqslant 1$.
(2)$\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4c^2+1}+\dfrac{c}{4d^2+1}+\dfrac{d}{4a^2+1}\geqslant \dfrac{3}{4}$

kuing

第（1）都不会就该打PP了；

第（2）可作为菊部切线法的范例：由
\[\frac1{4b^2+1}-(1-b)=\frac{b(2b-1)^2}{4b^2+1}\geqslant0,\]
得
\[\sum\frac a{4b^2+1}\geqslant\sum(a-ab)=1-(a+c)(b+d)\geqslant1-\left( \frac{\sum a}2 \right)^2=\frac34.\]

isee

回复 2# kuing

擦，那早开花了~~

敬畏数学

（1）利用$ (a+b+c+d)^2=1 $,展开就直接得到不等式了。第二个局部切线法有难度啊。