$t>0$,求$\frac{6t}{1+9t^2}+\frac{2t}{1+t^2}$的最大值

郝酒

我这样解：
$\frac{6t}{1+9t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{8(t+\frac{1}{3t})}{3t^2+\frac{10}{3}+\frac{1}{3t^2}}=\frac{8(t+\frac{1}{3t})}{3(t+\frac{1}{3t})^2+\frac{4}{3}}$，
注意到$t+\frac{1}{3t}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$，用对勾函数单调性可以求出最大值.
想问下还有没有其他的解法。

kuing

这解法不是挺好的么……

PS、原题是什么？

isee

回复 2# kuing


象是三角函数代换后的

郝酒

回复 2# kuing

我也是在网上看到的，我以为原题就是这个，觉得出得挺巧妙的，ku版怎么一眼看出它不是原题？

kuing

回复 4# 郝酒

直觉而已，未必准。

kuing

记\[f(x)=\frac{2x}{1+x^2},\]则\[\text{原式}=f(t)+f(3t),\]令\[t=\frac x{\sqrt3y},\]其中 `x`, `y>0`，则
\[\text{原式}=f\left( \frac x{\sqrt3y} \right)+f\left( \frac{\sqrt3x}y \right)=\frac{2\sqrt3xy}{x^2+3y^2}+\frac{2\sqrt3xy}{3x^2+y^2},\]
由均值有
\[\frac{2\sqrt3xy}{x^2+3y^2}=\frac{2\sqrt3xy}{x^2+y^2+2y^2}\leqslant\frac{2\sqrt3xy}{2xy+2y^2}=\frac{\sqrt3x}{x+y},\]
同理有
\[\frac{2\sqrt3xy}{3x^2+y^2}\leqslant\frac{\sqrt3y}{x+y},\]
两式相加即得原式 `\leqslant\sqrt3`。

郝酒

谢谢，学习了：）

郝酒

原题是二维的，$x,y>0$，求$A=\frac{6xy}{9x^2+y^2}+\frac{2xy}{x^2+y^2}$的最大值。

kuing

原题是二维的，$x,y>0$，求$A=\frac{6xy}{9x^2+y^2}+\frac{2xy}{x^2+y^2}$的最大值。
郝酒 发表于 2018-7-19 09:51

那就等同于我 6# 的转化了（作置换 `x\to x/\sqrt3` 即得 6# 第4行）

也就是说你在网上看到的题的贴题者把原题转化成单变量，然后我又把它变回去了，白干了一场，呵呵，不贴原题经常出这种事情。