求一个三元函数的极值

TSC999

当 a, b, c  均非负、并且不全为零时，求 \( \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+b+a}-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \) 的最大值和最小值。

TSC999

猜想，这个三元函数的最大值是 0.5，最小值是 -0.5。
Clear["Global`*"];

\[
\begin{aligned}
& f=\frac{a}{2 a+b+c}+\frac{b}{2 b+a+c}+\frac{c}{2 c+b+a}-\frac{a b+b c+c a}{a^2+b^2+c^2} ;\\
& \text { Simplify }\left[\frac{1}{2} \geq f \geq \frac{-1}{2}, \text { Element }[\{a, b, c\}, \operatorname{Reals}] \& \& a>=0 \& \& b>=0 \& \& c>0\right]
\end{aligned}
\]


True

kuing

记
\[F=\sum\frac a{2a+b+c}-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}.\]
一方面，不妨设 `c=\max\{a,b,c\}`，则
\begin{align*}
F&\leqslant\frac a{a+b+c}+\frac b{a+b+c}+\frac c{2c+a+b}-\frac{c(a+b)}{a^2+b^2+c^2}\\
&=\frac{(a+b)(a^2+b^2-ac-bc)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}+\frac c{2c+a+b}\\
&\leqslant\frac c{2c+a+b}\\
&\leqslant\frac12,
\end{align*}
当 `a=b=0` 时取等；

另一方面，在《撸题集》P272 尾部我曾得到如下不等式：
\[\sum\frac a{2a+b+c}\geqslant \frac12+\frac14\cdot\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2},\]
所以
\[F\geqslant\frac12-\frac34\cdot\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac12-\frac34=-\frac14,\]
当 `a=b=c` 时取等。

综上所述，`F` 的范围是 `[-1/4,1/2]`。

PS、其实相比于《撸题集》P272 的另一个最佳系数来说，以上这些都不值一提。

TSC999

我想 k 版主这个结论是对的！嘿嘿，版主好记性！还记得这道题的原始出处呢。