一个极小值问题

力工

已知函数$f(x)=2(e^x-x-1)-(ax^2+x)ln(x+1)$在$x=0$处取得极小值，求实数$a$的值。

kuing

和上次这道 forum.php?mod=viewthread&tid=5430 有点像，不过这次好像除不了，但不断求导总可以

kuing

通过死算可知 `f(0)=f'(0)=f''(0)=0` 恒成立且 `f'''(0)=5-6a`, `f''''(0)=12a-6`。

如果 `f'''(0)\ne0`，则：
`f''(x)` 在 `x=0` 处非极值，
`f'(x)` 在 `x=0` 处是极值，
`f(x)` 在 `x=0` 处非极值，
矛盾，所以必须 `f'''(0)=0`，即 `a=5/6`。

最后当然还需要检验一下，代入 `a=5/6`，有 `f''''(0)>0`，类似于上面的分析可知的确为极小值。

kuing

记 `n` 阶导数为 `f^{(n)}(x)`，一般地：
若 `f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n)}(x_0)=0` 且 `f^{(n+1)}(x_0)` 为正（负），则：
`f^{(n)}(x)`, `f^{(n-2)}(x)`, `f^{(n-4)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处非极值；
`f^{(n-1)}(x)`, `f^{(n-3)}(x)`, `f^{(n-5)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处是极小（大）值。

lemondian

回复 4# kuing
这个东东，蛮好用的。
请问：有出处吗？严格的证明如3#吗？

kuing

回复 5# lemondian

哪有什么出处不出处的，就是临场随手总结的小结论罢了

lemondian

回复 6# kuing

Kuing出品，必属精品！若有证明过程就好了。

kuing

回复 7# lemondian

这点小东西，证明自己写

lemondian

回复 8# kuing
果真有出处，怪不得眼熟！
原来是极值判定的方法：高数里面有的！今天复习了一下！

敬畏数学

回复 9# lemondian 好像是有这么一个东西，严格证明分享一下？

力工

回复 9# lemondian
请拍照上传吧。

lemondian

回复 11# 力工

书是图书馆看的的，当时就看了一眼，要用到高等数学的泰勒公式，没记住哩。你们网上找找吧。