三角形面积问题

敬畏数学

三角形三条中线长9，12，15，则三角形面积------？如果是三角平分线长呢？三高线长呢？

力工

回复 1# 敬畏数学
这样的问题应该有结论（公式）的。坐等高人大神。

lemondian

lemondian

回复 3# lemondian


    （4）中打错了一个字：解-->角

敬畏数学

回复 3# lemondian
结果很好的一组结论。中线问题用纯平几解决有点复杂，但用向量解决简单，求出两条中线的夹角即可。其他几个没有细想过程。

kuing

回复 5# 敬畏数学

中线的用纯平几才简单呢，一个图搞定，简直可以无字证明。



结论：设原三角形边长 a,b,c，面积为 S，则其三条中线 ma, mb, mc 必能构成三角形，且这个新三角形的三条中线长分别为 3a/4, 3b/4, 3c/4，面积为 3S/4。

从而直接得到 3# 的（1）。

更多内容请自行百度“中线对偶定理”。

kuing

高线的我以前可能也做过，不过懒得找了。更加简单，直接利用 a=2S/h_a 立得。

至于后面的两个，我不想撸了，尼玛最近连续进了两次坑（这里和这里），都是一组四题，都是前面的简单，直到撸第四题才发现TNND进了坑，越撸越暴li，这回绝不再上当了[右哼哼]……

lemondian

回复 7# kuing
呵呵，连kuing神都说难搞，就真的难搞了！

kuing

回复 8# lemondian

我可没说难搞，因为我根本不打算搞，还没思考过哩，怕又是一个坑

TSC999

3# 楼中的结论应该是对的。
其中，知道三个角的平分线长，应该能够唯一地确定三角形的各边长 a, b, c，当然也就能确定它的面积了。
由平分线长 ta, tb, tc 求边长 a, b, c 的解析表达式是客观存在的，只是我们写不出来！也没见任何一本数学手册上有此公式。
由平分线长求三边, 用 mathematica 跑了一下，长时间给不出结果。

实际画一个三角形，实测：a = 7629, b = 5143, c = 7157, ta = 4759, tb = 6928,  tc = 5188。用 mathematica 求数值解，可得到正确结果：



不过数值解不是我们关心的，我想要的是解析公式！

敬畏数学

回复 10# TSC999
我这两天也在静思苦想，没有结果。第一个中线高手已经轻松解答。中线问题是某名牌高校一道思考题。感谢诸位高手！

TSC999

回复 11# 敬畏数学
研究数学适可而止，毕竟数学这东西水太深！许多看起来很简单的问题，有可能找不到满意结果。

TSC999

经检验，3# 的公式 (3) 是对的。

敬畏数学

回复 12# TSC999
对的。思考一下而已，能有结论更好。谢谢帮忙！

kuing

回复 3# lemondian

还是撸了下关于（3）的红字：

设面积为 `S`，记 `W=t_a^2+t_b^2+t_c^2`, `T=t_a^2t_b^2+t_b^2t_c^2+t_c^2t_a^2`, `F=t_a^2t_b^2t_c^2`，则有：

- 16777216 F^4 (4 F W - T^2) S^20 - 2097152 F^2 ( - T^6 + 6 F W T^4 + 2 F^2 T^3 - 8 F^2 W^2 T^2 - 8 F^3 W T + 10 F^4) S^18 + 65536 (T^10 - 8 F W T^8 + 12 F^2 T^7 + 16 F^2 W^2 T^6 - 56 F^3 W T^5 - 120 F^4 T^4 + 64 F^4 W^2 T^3 + 428 F^5 W T^2 + 90 F^6 T - 128 F^5 W^3 T - 112 F^6 W^2) S^16 - 16384 F (2 W T^9 + 5 F T^8 - 16 F W^2 T^7 + 5 F^2 W T^6 + 58 F^3 T^5 + 32 F^2 W^3 T^5 - 104 F^3 W^2 T^4 - 134 F^4 W T^3 - 392 F^5 T^2 + 32 F^4 W^3 T^2 + 528 F^5 W^2 T - 64 F^5 W^4 + 167 F^6 W) S^14 - 256 F^2 ( - 14 T^9 - 16 W^2 T^8 - 24 F W T^7 + 128 F W^3 T^6 - 432 F^2 T^6 + 64 F^2 W^2 T^5 - 256 F^2 W^4 T^4 - 28 F^3 W T^4 - 500 F^4 T^3 + 1024 F^3 W^3 T^3 - 1824 F^4 W^2 T^2 + 10832 F^5 W T + 519 F^6 - 3072 F^5 W^3) S^12 - 32 F^3 (36 W T^8 + 94 F T^7 - 144 F W^2 T^6 + 744 F^2 W T^5 + 2243 F^3 T^4 - 1536 F^3 W^2 T^3 - 3648 F^4 W T^2 + 9328 F^5 T + 2048 F^4 W^3 T - 7680 F^5 W^2) S^10 + F^4 (81 T^8 + 768 F W T^6 + 1568 F^2 T^5 - 3072 F^2 W^2 T^4 + 24064 F^3 W T^3 - 21184 F^4 T^2 - 24576 F^4 W^2 T + 37888 F^5 W) S^8 + 4 F^6 ( - 27 T^6 - 32 F W T^4 - 352 F^2 T^3 + 128 F^2 W^2 T^2 - 320 F^3 W T + 424 F^4) S^6 + 2 F^8 T (27 T^3 + 80 F^2) S^4 - 12 F^10 T^2 S^2 + F^12  = 0

乃是关于 `S^2` 的十次方程

kuing

用 mathematica 验证楼上的公式：

1. kkkk = -16777216 F^4 (4 F W - T^2) S^20 -
2.    2097152 F^2 (-T^6 + 6 F W T^4 + 2 F^2 T^3 - 8 F^2 W^2 T^2 -
3.       8 F^3 W T + 10 F^4) S^18 +
4.    65536 (T^10 - 8 F W T^8 + 12 F^2 T^7 + 16 F^2 W^2 T^6 -
5.       56 F^3 W T^5 - 120 F^4 T^4 + 64 F^4 W^2 T^3 + 428 F^5 W T^2 +
6.       90 F^6 T - 128 F^5 W^3 T - 112 F^6 W^2) S^16 -
7.    16384 F (2 W T^9 + 5 F T^8 - 16 F W^2 T^7 + 5 F^2 W T^6 +
8.       58 F^3 T^5 + 32 F^2 W^3 T^5 - 104 F^3 W^2 T^4 - 134 F^4 W T^3 -
9.       392 F^5 T^2 + 32 F^4 W^3 T^2 + 528 F^5 W^2 T - 64 F^5 W^4 +
10.       167 F^6 W) S^14 -
11.    256 F^2 (-14 T^9 - 16 W^2 T^8 - 24 F W T^7 + 128 F W^3 T^6 -
12.       432 F^2 T^6 + 64 F^2 W^2 T^5 - 256 F^2 W^4 T^4 - 28 F^3 W T^4 -
13.       500 F^4 T^3 + 1024 F^3 W^3 T^3 - 1824 F^4 W^2 T^2 +
14.       10832 F^5 W T + 519 F^6 - 3072 F^5 W^3) S^12 -
15.    32 F^3 (36 W T^8 + 94 F T^7 - 144 F W^2 T^6 + 744 F^2 W T^5 +
16.       2243 F^3 T^4 - 1536 F^3 W^2 T^3 - 3648 F^4 W T^2 + 9328 F^5 T +
17.       2048 F^4 W^3 T - 7680 F^5 W^2) S^10 +
18.    F^4 (81 T^8 + 768 F W T^6 + 1568 F^2 T^5 - 3072 F^2 W^2 T^4 +
19.       24064 F^3 W T^3 - 21184 F^4 T^2 - 24576 F^4 W^2 T +
20.       37888 F^5 W) S^8 +
21.    4 F^6 (-27 T^6 - 32 F W T^4 - 352 F^2 T^3 + 128 F^2 W^2 T^2 -
22.       320 F^3 W T + 424 F^4) S^6 + 2 F^8 T (27 T^3 + 80 F^2) S^4 -
23.    12 F^10 T^2 S^2 + F^12;
24. kkkk /. {W -> ta2 + tb2 + tc2, T -> ta2 tb2 + tb2 tc2 + tc2 ta2,
25.    F -> ta2 tb2 tc2};
26. % /. {ta2 -> b c ((b + c)^2 - a^2)/(b + c)^2,
27.    tb2 -> a c ((a + c)^2 - b^2)/(a + c)^2,
28.    tc2 -> b a ((b + a)^2 - c^2)/(b + a)^2,
29.    S -> Sqrt[(a + b + c) (-a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)]/4};
30. Factor[%]

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如果输出 0 ，则公式正确。

lemondian

回复 16# kuing


    kuing终于出手了！
可搞出一个这样的东东，吓人呀

kuing

回复 17# lemondian

就是为了吓吓你们

TSC999

Kuing 真是厉害！推出了一个关于 S^2 的 10 次方程！即使用软件来解这个方程也是极困难的，况且要从多个解中找出合适的那一个才行。难怪上帝看着人类玩数学会暗自发笑。

kuing

回复 19# TSC999

还没完哩，关于你前面想做的事：用 ta, tb, tc 解出三边。

记 `k=t_a^2`, `p=t_b^2+t_c^2`, `q=t_b^2t_c^2`，则有：

256 q (k^2 - p k + q)^2 (p^2 k^2 - 4 q k^2 - 2 p q k + q^2) a^20 + 256 (p^4 k^7 - 4 p^2 q k^7 - 2 p^5 k^6 + 20 p q^2 k^6 + p^3 q k^6 + p^6 k^5 - 61 q^3 k^5 + 5 p^2 q^2 k^5 + 5 p^4 q k^5 - 3 p q^3 k^4 - p^3 q^2 k^4 - 6 p^5 q k^4 + 12 q^4 k^3 - 12 p^2 q^3 k^3 + 14 p^4 q^2 k^3 + 17 p q^4 k^2 - 16 p^3 q^3 k^2 - 7 q^5 k + 9 p^2 q^4 k - 2 p q^5) a^18 - 32 (40 p^5 k^7 - 160 p^3 q k^7 - 24 p^6 k^6 + 256 q^3 k^6 + 660 p^2 q^2 k^6 - 155 p^4 q k^6 + 16 p^7 k^5 - 841 p q^3 k^5 + 334 p^3 q^2 k^5 + 25 p^5 q k^5 + 481 q^4 k^4 - 341 p^2 q^3 k^4 + 81 p^4 q^2 k^4 - 72 p^6 q k^4 + 232 p q^4 k^3 - 250 p^3 q^3 k^3 + 128 p^5 q^2 k^3 - 142 q^5 k^2 + 270 p^2 q^4 k^2 - 112 p^4 q^3 k^2 - 95 p q^5 k + 48 p^3 q^4 k - 7 q^6 - 8 p^2 q^5) a^16 + 16 (16 k^5 p^8 - 2 k^6 p^7 - 64 k^4 q p^7 + 118 k^7 p^6 + 96 k^3 q^2 p^6 + 44 k^5 q p^6 - 64 k^2 q^3 p^5 + 50 k^4 q^2 p^5 - 793 k^6 q p^5 + 16 k q^4 p^4 - 296 k^3 q^3 p^4 + 830 k^5 q^2 p^4 - 280 k^7 q p^4 + 258 k^2 q^4 p^3 - 678 k^4 q^3 p^3 + 2006 k^6 q^2 p^3 - 36 k q^5 p^2 + 561 k^3 q^4 p^2 - 1756 k^5 q^3 p^2 - 768 k^7 q^2 p^2 - 18 q^6 p - 499 k^2 q^5 p + 1427 k^4 q^4 p + 960 k^6 q^3 p - 111 k q^6 - 226 k^3 q^5 + 65 k^5 q^4) a^14 + (-288 k^6 p^8 - 720 k^7 p^7 - 288 k^5 q p^7 + 576 k^4 q^2 p^6 + 5521 k^6 q p^6 + 576 k^3 q^3 p^5 - 6650 k^5 q^2 p^5 - 5568 k^7 q p^5 - 288 k^2 q^4 p^4 + 2511 k^4 q^3 p^4 + 10716 k^6 q^2 p^4 - 288 k q^5 p^3 - 5020 k^3 q^4 p^3 + 20426 k^5 q^3 p^3 + 31744 k^7 q^2 p^3 + 1295 k^2 q^5 p^2 + 2170 k^4 q^4 p^2 - 65776 k^6 q^3 p^2 + 1830 k q^6 p + 12350 k^3 q^5 p - 19592 k^5 q^4 p + 8192 k^7 q^3 p + 81 q^7 + 5618 k^2 q^6 - 11311 k^4 q^5 + 14336 k^6 q^4) a^12 + k (81 k^6 p^8 + 1254 k^5 q p^7 + 1215 k^4 q^2 p^6 + 3324 k^6 q p^6 + 84 k^3 q^3 p^5 - 16790 k^5 q^2 p^5 + 1215 k^2 q^4 p^4 - 5618 k^4 q^3 p^4 + 256 k^6 q^2 p^4 + 1254 k q^5 p^3 - 2572 k^3 q^4 p^3 + 23096 k^5 q^3 p^3 + 81 q^6 p^2 - 5720 k^2 q^5 p^2 - 6766 k^4 q^4 p^2 - 59392 k^6 q^3 p^2 - 5630 k q^6 p - 3524 k^3 q^5 p + 18944 k^5 q^4 p - 594 q^7 - 8622 k^2 q^6 + 18176 k^4 q^5) a^10 + k^2 q (-432 k^5 p^7 - 2672 k^4 q p^6 - 3808 k^3 q^2 p^5 - 5312 k^5 q p^5 - 3808 k^2 q^3 p^4 + 20081 k^4 q^2 p^4 - 2672 k q^4 p^3 + 22788 k^3 q^3 p^3 + 15872 k^5 q^2 p^3 - 432 q^5 p^2 + 14790 k^2 q^4 p^2 - 28992 k^4 q^3 p^2 + 10756 k q^5 p - 12752 k^3 q^4 p + 49152 k^5 q^3 p + 1809 q^6 + 3248 k^2 q^5 - 4096 k^4 q^4) a^8 - 16 k^3 q^2 (-54 k^4 p^6 - 216 k^3 q p^5 - 324 k^2 q^2 p^4 - 168 k^4 q p^4 - 216 k q^3 p^3 + 959 k^3 q^2 p^3 - 54 q^4 p^2 + 1293 k^2 q^3 p^2 + 1280 k^4 q^2 p^2 + 797 k q^4 p - 952 k^3 q^3 p + 183 q^5 - 274 k^2 q^4 + 1024 k^4 q^3) a^6 + 32 k^4 q^3 (-24 k^3 p^5 - 72 k^2 q p^4 - 72 k q^2 p^3 + 32 k^3 q p^3 - 24 q^3 p^2 + 259 k^2 q^2 p^2 + 262 k q^3 p + 256 k^3 q^2 p + 83 q^4 - 96 k^2 q^3) a^4 - 256 k^5 q^4 (k p + q) (-k p^3 - q p^2 + 4 k q p + 5 q^2) a^2 + 256 k^6 q^7 = 0

式子比面积的更长更臭，不过同样是关于 `a^2` 的十次方程，`b`, `c` 同理。