过四定点的圆锥曲线的中心轨迹？

青青子衿

过四定点的圆锥曲线，其中心的轨迹还是圆锥曲线

kuing

设四边形的两对对边的方程别为 `f_1 = A_1 x + B_1 y + C_1=0`, `f_2 = A_2 x + B_2 y + C_2=0` 及 `f_3 = A_3 x + B_3 y + C_3=0`, `f_4 = A_4 x + B_4 y + C_4=0`，则过四顶点的二次曲线系（`f_3f_4=0` 除外）为
\[f = f_1 f_2 + t\cdot f_3 f_4=0,\]
其中心为以下关于 `x`, `y` 的方程组的解
\[\led\frac{\partial f}{\partial x}&=0, \\
\frac{\partial f}{\partial y}&=0,\endled\]
解出来之后再消去参数 `t` 即得其中心的轨迹。

具体过程当然是交给MMC了，最后整理时正好可以用上昨天这帖的整理方法。

最终结果为：
\begin{align*}
& 2 (A_2 A_3 A_4 B_1 + A_1 A_3 A_4 B_2 - A_1 A_2 A_4 B_3 - A_1 A_2 A_3 B_4) x^2 \\
& + 4 (A_3 A_4 B_1 B_2 - A_1 A_2 B_3 B_4) x y \\
& + 2 (A_4 B_1 B_2 B_3 + A_3 B_1 B_2 B_4 - A_2 B_1 B_3 B_4 - A_1 B_2 B_3 B_4) y^2 \\
& + (2 A_3 A_4 B_2 C_1 - A_2 A_4 B_3 C_1 - A_2 A_3 B_4 C_1 + 2 A_3 A_4 B_1 C_2 \\
& - A_1 A_4 B_3 C_2 - A_1 A_3 B_4 C_2 + A_2 A_4 B_1 C_3 + A_1 A_4 B_2 C_3 \\
& - 2 A_1 A_2 B_4 C_3 + A_2 A_3 B_1 C_4 + A_1 A_3 B_2 C_4 - 2 A_1 A_2 B_3 C_4) x \\
& + (A_4 B_2 B_3 C_1 + A_3 B_2 B_4 C_1 - 2 A_2 B_3 B_4 C_1 + A_4 B_1 B_3 C_2 \\
& + A_3 B_1 B_4 C_2 - 2 A_1 B_3 B_4 C_2 + 2 A_4 B_1 B_2 C_3 - A_2 B_1 B_4 C_3 \\
& - A_1 B_2 B_4 C_3 + 2 A_3 B_1 B_2 C_4 - A_2 B_1 B_3 C_4 - A_1 B_2 B_3 C_4) y \\
& + A_4 B_2 C_1 C_3 - A_2 B_4 C_1 C_3 + A_4 B_1 C_2 C_3 - A_1 B_4 C_2 C_3 \\
& + A_3 B_2 C_1 C_4 - A_2 B_3 C_1 C_4 + A_3 B_1 C_2 C_4 - A_1 B_3 C_2 C_4 = 0,
\end{align*}
记 `x^2`, `xy`, `y^2` 的系数分别为 `A`, `B`, `C`，则二次曲线的类型由 `4AC-B^2` 的正负零决定，对于上述方程来说，此值可分解为
\[-(A_3 B_1 - A_1 B_3) (A_3 B_2 - A_2 B_3) (A_4 B_1 - A_1 B_4) (A_4 B_2 - A_2 B_4),\]
如果四条直线的斜率均存在，记为 `k_i`, `i=1`, `2`, `3`, `4`，则上式化为
\[-(k_1 - k_3) (k_2 - k_3) (k_1 - k_4) (k_2 - k_4),\]
由于要有四交点，所以上式一定不会为零，所以中心轨迹虽然一定是二次曲线但它不会是抛物线。

isee

回复 2# kuing

那楼主怎么画出抛物线来了......

色k

回复 3# isee

？？？那是双曲线好吧

青青子衿

回复 3# isee

回复  kuing
那楼主怎么画出抛物线来了......
isee 发表于 2018-7-27 08:04

你说的是上面这帧红色的曲线吗？
kk说的是，无论四边形怎么变化，蓝色的曲线始终不为“抛物线”……

isee

哇哈哈哈~~

我看串了

kuing

昨天撸得太随便，在消参的时候没作更细致的分析，以至于有两类特殊情况没有讨论，下面补充写一下。

首先，为了方便起见，直线方程就不用一般式了，改用 `y=kx+b` 的形式，因为我们总可以适当地建系使四边的斜率都存在。

设四边形的两对对边的方程别为 `f_1 = k_1 x - y + b_1=0`, `f_2 = k_2 x - y + b_2=0` 及 `f_3 = k_3 x - y + b_3=0`, `f_4 = k_4 x - y + b_4=0`，则过四顶点的二次曲线系（`f_3f_4=0` 除外）为
\[f = f_1 f_2 + t\cdot f_3 f_4=0,\]
其中心为以下关于 `x`, `y` 的方程组的解
\[\led\frac{\partial f}{\partial x}&=0, \\
\frac{\partial f}{\partial y}&=0,\endled\]
解得
\[(x,y)=\left(\frac XM,\frac YM\right), \quad (*)\]
其中
\begin{align*}
X={}&{-}(b_1 - b_2) (k_1 - k_2) + \bigl(b_1 (2 k_2 - k_3 - k_4) + b_2 (2 k_1 - k_3 - k_4) \\
&+ b_3 (2 k_4 - k_1 - k_2) + b_4 (2 k_3 - k_1 - k_2)\bigr) t - (b_3 - b_4) (k_3 - k_4) t^2, \\
Y={}&{-}(b_1 k_2 - b_2 k_1) (k_1 - k_2) + \bigl(b_1 (k_2 k_3 + k_2 k_4 - 2 k_3 k_4) + b_2 (k_1 k_3 + k_1 k_4 - 2 k_3 k_4) \\
&+ b_3 (k_4 k_1 + k_4 k_2 - 2 k_1 k_2) + b_4 (k_3 k_1 + k_3 k_2 - 2 k_1 k_2)\bigr) t - (b_3 k_4 - b_4 k_3) (k_3 - k_4) t^2, \\
M={}&(k_1 - k_2)^2 - 2 (2 k_1 k_2 - k_1 k_3 - k_2 k_3 - k_1 k_4 - k_2 k_4 + 2 k_3 k_4) t + (k_3 - k_4)^2 t^2.
\end{align*}

（1）四边形为平行四边形时，即 `k_2=k_1` 且 `k_4=k_3` 时，式 (*) 可以化简为
\[(x,y)=\left(-\frac{b_1+b_2-b_3-b_4}{2(k_1-k_3)},-\frac{(b_1+b_2)k_3-(b_3+b_4)k_1}{2(k_1-k_3)}\right),\]
所以这种情况的中心轨迹是一个定点，并且不难证明这个定点就是平行四边形的中心；

（2）当四边形为梯形时，即 `k_2=k_1` 异或 `k_4=k_3` 时，易见此时 `X/M` 及 `Y/M` 都必能化简为分子分母都是关于 `t` 的一次式，那么消 `t` 后的方程也不会高于一次，比如说，当 `k_2=k_1` 且 `k_4\ne k_3` 时，式 (*) 消 `t` 后得
\[(k_1 k_3 + k_1 k_4 - 2 k_3 k_4) x + (-2 k_1 + k_3 + k_4) y + b_3 k_1 + b_4 k_1 - b_4 k_3 - b_3 k_4 = 0,\]
易证此时两系数不会同时为零，所以上式一定是直线方程，并且不难证明这条直线经过梯形上下底的中点。
当 `k_2\ne k_1` 且 `k_4=k_3` 时类似，所以这种情况的中心轨迹是一条直线；

（3）当 `k_2\ne k_1` 且 `k_4\ne k_3` 时，才是 2# 的结果。

综上，“过四定点的圆锥曲线，其中心的轨迹还是圆锥曲线”这句话并不准确，应该排除平行四边形和梯形两种情况。

kuing

两种特殊情况的动图：

hejoseph

还有一个结论：如果这个四边形不是梯形或平行四边形，过这四点中心的轨迹的中心是这个四边形两组对边中点连线的交点。

hejoseph

另外，如果允许出现“线心”这种情况（两平行直线的中心是与这两条直线距离都相等的直线），那么结论就比较统一了：所求中心的轨迹是二次曲线，其中梯形、平行四边形的轨迹是过两组对边中点连线的两条直线。所求的轨迹必定过所有边、对角线的中点，也必定过对边或两对角线的交点（若存在）。

青青子衿

回复 1# 青青子衿
五点圆锥曲线及相关联想
wuyudi.github.io/2018/09/12/five_points_conic/

青青子衿

回复 10# hejoseph
谢谢何版主！
何版主所求出的 四边形\(\,ABCD\,\,\)的九点曲线离心率\(\,e\,\)，其形式也好漂亮！
\begin{align*}
\dfrac{e^4}{\left(e^2-2\right)^2}=\dfrac{\cos^2\left(A+B\right)+\cos^2\left(B+C\right)-2\cos\left(A+B\right)\cos\left(B+C\right)\cos\left(A+C\right)}{\sin^2\left(A+C\right)}
\end{align*}
【注】：四边形的九点曲线 就是 过四定点圆锥曲线其中心的轨迹

hbghlyj

青青子衿 发表于 2018-11-19 11:42
回复 1# 青青子衿
五点圆锥曲线及相关联想

引用的网站wuyudi.github.io/挂了😢
但有一个链接 github.com/wuyudi/fake-girlfriend/ 可以访问

creasson

青青子衿 发表于 2019-4-11 17:23
回复 10# hejoseph
谢谢何版主！
何版主所求出的 四边形\(\,ABCD\,\,\)的九点曲线离心率\(\, ...

九点曲线离心率有更简洁的形式
\[\frac{{{{({e^2} - 2)}^2}}}{{({e^2} - 1)}} = \frac{{{{\sin }^2}(A + C)}}{{\sin A\sin B\sin C\sin D}}\]

hbghlyj

hejoseph 发表于 2018-8-31 06:08
这个四边形两组对边中点连线的交点。

在Newton line这篇维基百科文章中有描述

四边形两组对边中点连线 的交点$K$:

hbghlyj

kuing 发表于 2018-7-26 14:27
方程别为

这个句子好像漏了一个字

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Nine-point_conic

In 1912 Maud Minthorn showed that the nine-point conic is the locus of the center of a conic through four given points.

arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2105/2105.02014.pdf

hbghlyj

青青子衿 发表于 2018-7-26 09:14
过四定点的圆锥曲线，其中心的轨迹还是圆锥曲线

圆锥曲线的中心是无穷远线关于该圆锥曲线的极点。所以您的定理可以推广为：
过四定点的圆锥曲线，一条定直线关于这些圆锥曲线的极点的轨迹还是圆锥曲线。

hbghlyj

creasson 发表于 2023-2-17 01:46
九点曲线离心率有更简洁的形式
\[\frac{{{{({e^2} - 2)}^2}}}{{({e^2} - 1)}} = \frac{{{{\sin }^2}(A + C)}}{{\sin A\sin B\sin C\sin D}}\]

发到 math.stackexchange.com/questions/4977182/eccentricity-of-nine-point-conic 并收到了回复
\[A=(a,1/a),B=(b,1/b),C=(c,1/c),D=(d,1/d)\]
九点曲线
\[x^{2} - abcd y^{2} - \frac{1}{2}(a + b + c + d)x + \frac{1}{2}abcd\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\right)y = 0\]
离心率$e$满足$\frac{e^{4}}{1 - e^{2}} = \frac{{(p_{xx} - p_{yy})}^{2} + 4p_{xy}^{2}}{p_{xx}p_{yy} - p_{xy}^{2}}=\frac{{(1+abcd)}^{2} }{abcd}$