等腰三角中的角度關係

231908

isee

回复 1# 231908


看看着挻简单的，但这个相似（或角分线）就是构造不出来。。。。

isee

回复 2# isee

最后放弃纯几法，直接利用三角函数计算。





如图实线（虚线不需要，未擦掉），记$EC=a，AD=b$，线段长度如图所标记。

在三角形$ADC$中，由余弦定理可得
$$\cos \alpha =\frac{3a-b}{2b},$$

从而在三角形$ADE$中，由余弦定理有
$$AE^2=b(b+3a),$$
而在三角形$ADE$中，再由余弦定理可得
$$\cos AED=\sqrt{\frac{b+3a}{4b}},$$

显然有$$2\cos^2 AED-1=\cos \alpha,$$
从而命题得证。

乌贼

如图：
     分别取$ CD,DB,DC $中点$ F,N,O $，连接$ OF,ON,AO $，有\[ ON=DF=2OF \]取$ CM=BN $，延长$ AC $至$ P $使$ CP=CM $，有\[ \triangle MOP\cong \triangle DBF\sim \triangle FOE \]所以$ FNCO $四点共圆和$ ECPO $四点共圆，有\[ \angle FCM=\angle FOM \\\angle CPE=\angle COE\]又\[ \angle EMP+\angle MPE=90\du =\angle AOE+\angle EOC \]有\[ \angle EMP=\angle AOE \]故$ AOEM $四点共圆，因此\[ \angle MAE=\angle MOE \]得\[ \angle AED=\angle ACE+\angle CAE=\angle FOM+\angle MOE=\angle FOE=\angle DEO=\angle DBF=\dfrac{1}{2}\angle ADE \]

郝酒

回复 4# 乌贼

谢谢，有一个笔误，所以FNCO四点共圆，应该是FMCO四点共圆.

isee

回复 4# 乌贼

述写文字字母略有手误，不过，无伤大雅，这辅助线妙啊，把我想不通的地方全连接在一起了。

不过，可稍简化（反思）如下：

题目：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$在$AB$上，且$CD=2BD$，$E$在$CD$上，且$DE=3EC$。
求证：$\angle ADE=2\angle AED$。

略整理（by 乌贼）过程：



即作以$FO$为腰的等腰梯形$FOCM$，其中点$F$为$CD$的中点。
再构造四边形$EOPC$得到这四边形有外接圆且$\angle MEP$为直角。。。
这个直角，
将题中$AO\perp BC$转化为$A,O,E,M$四点共圆。。。
浑然天成。
再利用三角形外角即可得证。

hbghlyj

231908 发表于 2018-7-27 12:42
$\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, $D$ 在 $A B$ 上, 且 $C D=2 B D$, $E$ 在 $C D$ 上, 且 $D E=3 E C$.
求证: $\angle ADE=2 \angle AED$.

先把条件和结论交换一下：
$\triangle A B C$ 中, $\angle ADE=2 \angle AED$. $D$ 在 $A B$ 上, 且 $C D=2 B D$, $E$ 在 $C D$ 上, 且 $D E=3 E C$.
求证: $A B=A C$.

下面模仿@kuing：

kuing 发表于 2019-7-20 07:51
WoCao！我突然知道这题是怎么出的了，事关我想起了，两倍角的时候轨迹恰好是双曲线（课本习题出过），并且 ...

不妨设 `D(-2,0)`, `E(1,0)`, `A(x,y)`，则
\[\frac y{x+2}=\tan\angle ADE=\tan2\angle AED=\frac{2\tan\angle AED}{1-\tan^2\angle AED}=\frac{\frac{2y}{1-x}}{1-\frac{y^2}{(1-x)^2}},\]
化简得
\[x^2-\frac{y^2}3=1,\]
\[a=1,\quad b=\sqrt{3},\quad c=2\]
\[CD=\frac43DE=2c\]
\[BD=\frac{CD}2=c=2a\]
由此可见，恰好有：`D` 为左焦点，`E` 为右顶点，而题目设定的点 `C` 就是右焦点，如下图：

则由双曲线定义，有
\[AB=AD+BD=AD+2a=AC.\]
PS、也就两倍角时才是双曲线，其他倍角就不是了，见《撸题集》P195~196 题目 2.2.11。