平几证明

dahool

没证明出来，谁来证明下！求助

kuing

不作辅助线，玩三角。

首先看条件，因为 `H` 在 `QR` 上，由张角定理有
\[\frac{\sin C}{CH}=\frac{\sin\angle HCR}{CQ}+\frac{\sin\angle HCQ}{CR},\]
熟知 `CH=2R\cos C`, `CQ=CR=(a+b-c)/2`，所以
\begin{align*}
\frac{\sin C}{2R\cos C}&=\frac{2(\cos A+\cos B)}{a+b-c},\\
\frac{\sin C}{2\cos C}&=\frac{\cos A+\cos B}{\sin A+\sin B-\sin C},\\
\frac{\sin C}{2\cos C}&=\frac{2\sin\frac C2\cos\frac{A-B}2}{2\cos\frac C2\cos\frac{A-B}2-\sin C},
\end{align*}
把 `\cos\frac{A-B}2` 解出来再经过化简后，将得到
\[\sin\frac C2\cos\frac{A-B}2=\cos^2\frac C2.\quad(*)\]

然后再看要证的，要证 `AP=BN`，等价于证 `O` 是 `NI` 的中点，即证
\[r=2R\cos C,\]
由熟知的恒等式
\[\frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2,\]
所以等价于证
\[2\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=\cos C,\]即\[\left( \cos\frac{A-B}2-\sin\frac C2 \right)\sin\frac C2=2\cos^2\frac C2-1,\]
展开之后正是式 (*)，所以得证。

dahool

回复 2# kuing

哇哦，真是没法说，你这。。。。
谢谢K神

dahool

回复 2# kuing

这是怎么思考的呢，望尘莫及

kuing

回复 4# dahool

思路就和我写出来的过程一样，对条件和待证结论同时分析，最后汇合。
当然实操时不会像写出来的那么顺利，做过不少变形，其中完全化边也是可以证出来的，只是没那么好看。
其实上面的证明我也感觉极有可能走了弯路，式 (*) 实际上是 `\cos A+\cos B=2\cos^2(C/2)`，你看这么简洁的式子，很可能有巧妙方法瞬间得出来。