把貌似不对称的代数式恒等变换成对称的

TSC999

下面这个代数式看起来关于 \(a, b, c \) 是不对称的：
\( b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) + a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2)\)

但是实际上，上式关于 \(a, b, c \) 是对称的，并且对称公式有许多。我先摆出一个：

\( 9 a^2 b^2 c^2+a b c (a+b+c)^3-7 a b c (a b+a c+b c) (a+b+c)+(a b+a c+b c)^3\)

请大家再提出其它的恒等变换式子。最好给出变换过程。

TSC999

上面那个对称式是通过 mathematica 软件得到的，指令如下：

SymmetricReduction[
b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2) + a c (b^2 - c^2) (b^2 - a^2), {a, b,
   c}]

TSC999

我这里还有几个，先不摆出来，为的是抛砖引玉。看看各位高手都有什么方法？

kuing

wocao！SymmetricReduction！第一次见这个命令，太好了，这个我真的很有需要，以前一直都手动操作！

yao4015

给你个 Schur 形式
$\sum_{cyc} b^2c^2(a-b)(a-c)+abc(a+b+c)\sum_{cyc} (a-b)(a-c)$.