y=(2ax+b)/(x^2+1) 的最大最小值是4 和-1，求 a,b

TSC999

已知 y=(2ax+b)/(x^2+1) 的最大最小值分别是 4 和 -1，求 a, b 的值。
  
不要用求导数的方法做。

kuing

见《撸题集》第 557 页题目 4.8.6

TSC999

由 $y=\frac{2 a x+b}{x^2+1}$ ，可知 $y x^2-2 a x+y-b=0$ ，这个关于 $x$ 的方程有实数解，故其判别式不小于零： $4 a^2-4 y(y-b) \geq 0$ ，即 $4 y^2-4 b y-4 a^2 \leq 0$ 。由题意，这个不等式的解集是：$-1 \leq y \leq 4$ ，因此方程 $4 y^2-4 b y-4 a^2=0$的两个实数根为 $y=-1$ 和 $y=4$ 。由韦达定理：
\[
(-1) \times 4=\frac{-4 a^2}{4}, \quad(-1)+4=-\frac{-4 b}{4}=b \text { 。 }
\]
故 $b=3, a= \pm 2$ 。

上面是中学生的典型解法。

TSC999

回复 2# kuing
版主记性真好！557 页中的题目分子是 \( ax+b \)，本题是 \( 2ax+b \)，因此答案有点小差别。看了一下版主的解法，也很好！