证明一个不等式（尽量用典型方法）

TSC999

若 \(a,b,c\) 都是非负的实数，证明下面的不等式：
\[ \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} - (\frac{bc}{a^2 + b c}+\frac{ca}{b^2 + ca}+\frac{ab}{c^2 + ab})≥0 \]

TSC999

这个题目，撸题集里面有么？
我是想以 mathematica 为工具，把左边的代数式进行变换，证明左边不小于零。这个是不用太动脑子的懒人方法。不过，既然有工具，为什么不用呢？ 这方法当然不适用于考试，因为考场不让带着笔记本电脑上阵。
版主不是说了吗，为了健康，我们要远离考试。考试确实没有多大意思。

TSC999

用 mathematica 把左边式子通分展开，得：
\begin{aligned} & \left.\left.\text { Simplify[Factor[Together }\left[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\left(\frac{b c}{a^2+b c}+\frac{c a}{~b^2+ca}+\frac{a b}{c^2+a b}\right)\right]\right]\right] \\ & \frac{\left(a^3+a b c+b^3+c^3\right)\left(a^4 b c+a^3(b-c)^2(b+c)-a^2 b c\left(b^2+c^2\right)+a b c(b-c)^2(b+c)+b^3 c^3\right)}{(a+b)(a+c)(b+c)\left(a c+b^2\right)\left(a^2+b c\right)\left(a b+c^2\right)}\end{aligned}
观察展开后的式子，分子左边一项和分母都非负数，分子右边一项是不是非负，看不出来。为此要将这部分再进行变换。

对于\( a^4 b c+a^3 (b-c)^2 (b+c)-a^2 b c (b^2+c^2)+a b c (b-c)^2 (b+c)+b^3 c^3 \) 这一项，先略去非负的 \(a^3 (b-c)^2 (b+c)\) 和 \(a b c (b-c)^2 (b+c)\)，

对于剩余的 \( a^4 b c-a^2 b c (b^2+c^2)+b^3 c^3\) 项进行因式分解（也用软件进行），得：\(b c (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)\)。
\begin{aligned} & \operatorname{Simplify}\left[\text { Factor }\left[a^4 b c-a^2 b c\left(b^2+c^2\right)+b^3 c^3\right]\right] \\ & b c(a-b)(a+b)(a-c)(a+c)\end{aligned}
最后一步，注意到原式是关于 \(a,b,c\) 对称的，因此不妨设 \(a≥b≥c≥0\)，于是 \( (a-b)≥0\)， \( (a-c)≥0\)，从而 \(b c (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)≥0\)。

这就证明了\( a^4 b c+a^3 (b-c)^2 (b+c)-a^2 b c (b^2+c^2)+a b c (b-c)^2 (b+c)+b^3 c^3≥0\)，于是原不等式成立。

TSC999

这个方法够懒了吧？ 不用动多少脑子，节省了许多个脑细胞。

kuing

题并不难，稍微动下脑也用不了多少个脑细胞。

等价于
\[\sum\frac{a^2}{a(b+c)}+\sum\frac{a^2}{a^2+bc}\geqslant3,\]
由 CS 有
\[LHS\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca},\]
记 `p=a^2+b^2+c^2`, `q=ab+bc+ca`，上式右边化为
\[\frac{p+2q}{2q}+\frac{p+2q}{p+q}=3+\frac p{2q}+\frac{-p}{p+q}=3+\frac{p(p-q)}{2q(p+q)}\geqslant3.\]

TSC999

回复 5# kuing
版主，你这起点太高，一个跟斗十万八千里，第一步那个等价于，我琢磨了半天也没看懂。

kuing

回复 6# TSC999

bc/(a^2+bc)=1-a^2/(a^2+bc)

TSC999

\( \frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+c)}+\frac{c^2}{c(a+b)}≥ \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\)

这一步是如何利用柯西不等式证明的？

kuing

回复 8# TSC999

你自己想想。

TSC999

回复 9# kuing
这几天太热，要躲进深山修练几天，听听柯西同志讲他的公式。

TSC999

修练好了。下山发帖。
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+a)}+\frac{c^2}{c(a+b)}$ ，利用变形公式 2， $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n}$,
所以 $\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+a)}+\frac{c^2}{c(a+b)} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a b+b c+c a)}$ ，
原来有个柯西变形公式，直接套用即可。

kuing

回复 11# TSC999

mathematica 不是可以复制成 latex 代码吗？

isee

回复 12# kuing


楼主应该不太用 latex 代码的

kuing

回复 13# isee

前面不是都在用吗？

TSC999

回复  isee

前面不是都在用吗？
kuing 发表于 2018-8-6 15:38

有时会发懒，就发成图片了。另外，我认为重要的帖子，会认真做代码。