圆上两点最小值问题

敬畏数学

P是圆 $x^2+y^2=4$上一点，且不在坐标轴上，A(2,0),B(0，2)，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,|AN|+2|BM|的最小值？

kuing

为方便书写，先改一下数据为 `x^2+y^2=1`, `A(1,0)`, `B(0,1)`，完事后再乘回 `2` 即可。

设 `P(\cos2t,\sin2t)`, `M(0,m)`, `N(n,0)`，则易得 `m=\cot t`, `n=\cot(\pi/4-t)`，因为
\[1=\cot \left( \frac \pi 4-t+t \right)=\frac {\cot \left( \frac \pi 4-t \right)\cot t-1}{\cot \left( \frac \pi 4-t \right)+\cot t}=\frac {mn-1}{m+n},\]所以\[(m-1)(n-1)=2,\]于是\[AN+2BM=|n-1|+2|m-1|\geqslant4,\]取等略，所以原题最小值为 `8`。

敬畏数学

回复 2# kuing
OK！总想能否用平几知识来帮助一下。当然全部几何那就更棒了。

kuing

回复 3# 敬畏数学

“易得 `m=\cot t`, `n=\cot(\pi/4-t)`”这一点就是用从几何角度看出来的

乌贼

实则比较$ CN $与$ CQ_1 $（或$ CQ_2 $）的大小，也就是$ \angle DQ_2C $（或$\angle  Q_1CN $）与$ 45\du  $的大小关系。

乌贼

但不明白$P$点为什么不在坐标轴上！明明是在坐标轴上取得？

kuing

但不明白$P$点为什么不在坐标轴上！明明是在坐标轴上取得？
乌贼 发表于 2018-8-13 03:19

一般是有两个取等的 P，其中一个在第一象限，所以不让在坐标上也没所谓啊。

kuing

另一种不太几何化的几何解法：

设圆半径 `r` 且 `P(x,y)`, `M(0,m)`, `N(n,0)`，则
\begin{gather*}
1=\frac{\overline{AP}}{\overline{AM}}+\frac{\overline{PM}}{\overline{AM}}=\frac ym+\frac xr,\\
1=\frac{\overline{BP}}{\overline{BN}}+\frac{\overline{PN}}{\overline{BN}}=\frac xn+\frac yr,
\end{gather*}
解得
\[\led
x&=\frac{n(m-r)r}{mn-r^2},\\
y&=\frac{m(n-r)r}{mn-r^2},
\endled\]
故由 `x^2+y^2=r^2` 得
\[n^2(m-r)^2+m^2(n-r)^2=(mn-r^2)^2,\]因式分解得\[(m-r)(n-r)(mn-mr-nr-r^2)=0,\]即\[(m-r)(n-r)=2r^2,\]下同2#。

注：上面用的是有向线段，所以无需讨论 `P` 在哪个象限中。

isee

回复 8# kuing


我更倾向于直线截距式，就全解析了

敬畏数学

感谢诸位高手的帮忙。辛苦了！哈哈，看到诸位的工作时间，TIPS一下。

kuing

回复 9# isee

8# 的实质也相当于截距式，只不过我用了所谓的几何意义来表达，因为楼主要求要有平几知识

游客

这个感觉跟那个"在椭圆里证明四边形AMNB面积为定值"有点遗传关系.

敬畏数学

回复 12# 游客
$ \triangle  ANB \sim \triangle BAM,\dfrac{|AN|}{|BA|}=\dfrac{|AB|}{|BM|},|AN|\cdot| BM|=|AB|^2=8,|AN|+2| BM|\geqslant 2\sqrt{2|AN|\cdot| BM|}=8$,等号成立|AN|=2|BM|

isee

回复 13# 敬畏数学

这个相似的发现将题目完全几何化了，很精彩，学习了。

isee

回复 14# isee

命题：
$P$是圆 $x^2+y^2=R^2$上一点，且不在坐标轴上，$A(R,0),B(0,R)$，直线$PA$与$y$轴交于点$M$,直线$PB$与$x$轴交于点$N$，则$\abs{AN}\cdot \abs{BM}$为定值.

证明参考13楼，几何法。

kuing

回复 14# isee

我反应了很久才知道它们为啥相似……这次我真是渣渣了……

isee

回复 12# 游客
确实，高考数学北京卷，2016年，文科是面积，理科直接就是线段积。

isee

回复 16# kuing


等腰三角形顶角一半与底角互余，上一次好像你也说这个来着，哈哈

其妙

本题本质上一个条件恒等式：
$x^2+y^2=4$得到$(x+y-2)^2=2(x-2)(y-2)$，然后利用两个三点共线得到两个斜率的等式，再利用合分比性质即可得到。
本题本质上可以说是计算技巧的问题，在8楼里用的代入消元法（用截距式解释更好理解）没有思维含量（这正是解析几何的优势），只要计算过关，即可得到正确结论。

huing

装B的高观解法：
用一下8#的图和变量。
点列x(N)和y(M)都与圆上的点列P形成透视，所以两者是射影对应点列，m与n必为满足一个双线性方程，并且m与n显然是对称的。不失一般性，可设为(m-a)(n-a)=b. 这是一条中心在(a, a)的等轴双曲线。
取P的特殊位置，就可确定系数a, b.
位置1: 取P→(r, 0), 这时n→r，m→∞. ∴a=r.
位置2: 取P=(-r, 0), 这时n=-r, m=0, ∴b=2r^2.
余略。