一个三角形中的最小值

lemondian

$设a,b,c为给定的三角形的三边长，在任意的\Delta ABC中,求atan\frac{A}{2}+btan\frac{B}{2}+ctan\frac{C}{2}的最小值。$

kuing

建议将题目修改一下写法，不然很容易让人误以为 `a`, `b`, `c` 为 `\triangle ABC` 的三边，毕竟这是约定俗成。

假设如下不等式
\[(ax+by+cz)^2\geqslant2k(xy+yz+zx) \quad(*)\]
对任意实数 `x`, `y`, `z` 恒成立，令 `ax=X`, `by=Y`, `cz=Z`，上式即
\[X^2+Y^2+Z^2\geqslant2\left( \frac k{ab}-1 \right)XY+2\left( \frac k{bc}-1 \right)YZ+2\left( \frac k{ca}-1 \right)ZX,\]
根据 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=5263&pid=26005（9楼）的结论，`k` 需满足 `0\leqslant k\leqslant2\min\{ab,bc,ca\}` 且
\[\left( \frac k{ab}-1 \right)^2+\left( \frac k{bc}-1 \right)^2+\left( \frac k{ca}-1 \right)^2+2\left( \frac k{ab}-1 \right)\left( \frac k{bc}-1 \right)\left( \frac k{ca}-1 \right)\leqslant1,\]
上式化简后为
\[2k\leqslant2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2,\]
由 `a`, `b`, `c` 构成三角形可知上式右边必为正，由 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2-4ab=-(a+b-c)^2\leqslant0` 可知 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2\leqslant4\min\{ab,bc,ca\}`，故此当 `2k=2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2` 时必能使式 (*) 恒成立，据此，我们得到如下不等式
\[(ax+by+cz)^2\geqslant(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)(xy+yz+zx),\]
现在，令 `x=\tan D`, `y=\tan E`, `z=\tan F`，其中 `D+E+F=\pi/2`，则 `xy+yz+zx=1`，代入即得
\[(a\tan D+b\tan E+c\tan F)^2\geqslant2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2,\]
取等懒得写。

注：其实 `a`, `b`, `c` 构成三角形的条件可以弱化一下，只需确保 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2` 非负即可。

lemondian

回复 2# kuing
我当初看到这题时，也觉得这样表达很别扭，但人家是这样写的，我就不改了