一道$abc=1$的不等式

郝酒

正数a,b,c满足$abc=1$,求证$\frac{1}{a^3\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{b^3\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{1}{c^3\sqrt{a^2+b^2}}\geq\frac{3\sqrt{2}}{2}$

我把它变成了$\sum\frac{\frac{1}{a^2}}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$然后想用柯西不等式，但是次数感觉调不平啊。

kuing

令 `a=\sqrt{xy}/z`, `b=\sqrt{yz}/x`, `c=\sqrt{zx}/y`, `x`, `y`, `z>0`，则
\[\sum\frac1{a^3\sqrt{b^2+c^2}}=\sum\frac{(z^2)^{3/2}}{\sqrt{xyz(x^3+y^3)}}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}{\sqrt{2xyz(x^3+y^3+z^3)}},\]
故只需证
\[(x^2+y^2+z^2)^3\geqslant9xyz(x^3+y^3+z^3),\]
即
\[(x^2+y^2+z^2)^3\geqslant9xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+27(xyz)^2,\]
因为 `3xyz(x+y+z)\leqslant(xy+yz+zx)^2`，所以只需证
\[(x^2+y^2+z^2)^3\geqslant3(xy+yz+zx)^2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+\frac{3(xy+yz+zx)^4}{(x+y+z)^2},\]
记 `p=x^2+y^2+z^2`, `q=xy+yz+zx`，上式即
\[p^3\geqslant3q^2(p-q)+\frac{3q^4}{p+2q},\]
作差分解为
\[\frac{(p-q)(p^3+3p^2q-3q^3)}{p+2q}\geqslant0,\]
显然成立，即得证。