几道均值不等式&柯西不等式题目

郝酒

1. 在三角形ABC中，$\frac{\sqrt{\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}}{\cos \frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}}}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}}{\cos \frac{C}{2}}$的最大值为多少？

2.$a,b,c,d>0,a+b+c+d=3$,则$\frac{{{a}^{3}}}{b+c+d}+\frac{{{b}^{3}}}{a+c+d}+\frac{{{c}^{3}}}{a+b+d}+\frac{{{d}^{3}}}{a+b+c}$的最小值为？

3.$x_1,x_2,\cdots,x_n>0$,$S=x_1+x_2+\cdots+x_n$,求证：$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq 1+S+\frac{S^2}{2!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}$.


提示一下就好：）

kuing

1、令 `x=\tan(A/2)`, `y=\tan(B/2)`, `z=\tan(C/2)`，则 `xy+yz+zx=1`，因为
\[\cos\frac A2=\frac1{\sqrt{x^2+1}},\]
所以
\begin{align*}
\text{原式}&=\sum\sqrt{yz(x^2+1)}\\
&\leqslant\sqrt{(1+1+1)\sum yz(x^2+1)}\\
&=\sqrt{3xyz(x+y+z)+3}\\
&\leqslant\sqrt{(xy+yz+zx)^2+3}\\
&=2,
\end{align*}
当三角形为正三角形时取等；

kuing

2、太简单，拒绝提示；

3、见《撸题集》P498 题目 4.6.75

isee

回复 3# kuing


快来人，好好伺候3#

郝酒

谢谢ku版，第二题我做得很笨重，所以想问一问有没有简便作法。

$\sum\frac{a^3}{3-a}\geq\frac{(\sum a^2)^2}{\sum(3-a)a}=\frac{(\sum a^2)^2}{9-\sum a^2}$
令$t = \sum a^2$，由均值不等式知$t\geq\frac{9}{4}$(这里$t<9$似乎是成立的，没太想明白怎么证)
$f(t)=\frac{t^2}{9-t}=9-t+\frac{81}{9-t}-18$,$9-t\in(0,\frac{27}{4}]$，可知$f(t)\geq \frac{3}{4}$，当且仅当$t=\frac{9}{4}$,即$a=b=c=d=\frac{3}{4}$时取的最小值.

第三题，能否证明出 $\sum x_1x_2\cdots x_r\leq \frac{S^r}{r!}$呢？

郝酒

第二题，$a+b+c+d=3$,如何说明$a^2+b^2+c^2+d^2<9$？

我是这样说明的，感觉有点麻烦：
$(3-b-c-d)^2+b^2+c^2+d^2=9+2b^2+2c^2+2d^2-6b-6c-6d+2bc+2bd+2cd$
只需说明$2b^2+2c^2+2d^2-6b-6c-6d+2bc+2bd+2cd<0$即可。
即$(b+c)^2+(c+d)^2+(d+b)^2-3(b+c)-3(c+d)-3(d+b)<0$
而$(b+c)^2-3(b+c)<0,(c+d)^2-3(c+d)<0,(d+b)^2-3(d+b)<0$
所以得证.

有没有更好的做法呢？（对这道题而言）

kuing

回复 6# 郝酒

不是吧，`a^2+b^2+c^2+d^2<9` 不就是 `a^2+b^2+c^2+d^2<(a+b+c+d)^2` 显然成立吗？

郝酒

对哈，我那个太麻烦啦。