琴生不等式最简单情形证明的疑问

郝酒

设$f(x)$是凸函数，$f''(x)>0$，证明：$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.
看网上很多文章说这由凸函数的性质易得，我自己证的时候，证得很麻烦：令$g(x)=f(x)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f'\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，证明$g(x)\geq g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，然后$g(x_1)+g(x_2)\geq 2g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$去证明.
感觉有些麻烦。网上说去构造函数$h(x)=\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x)-f\left(\frac{x_1+x}{2}\right)$，但是这样我证不出来，所以想求助下。看这个怎么简单的证明。

realnumber

f''(x)>0,说明f'(x)是增函数。
h(x1)=0
h'(x)=0.5f'(x)-0.5f'(0.5(x1+x)),根据f'(x)是增函数，
x>0.5(x1+x)即x>x1,h'(x)>0
x<0.5(x1+x)即x<x1,h'(x)<0,因此h(x1)是h(x)的唯一的最小值

郝酒

回复 2# realnumber

对噶，谢谢哈，我还去求导，越求越复杂。

战巡

回复 1# 郝酒


不妨假设$x_1>x_2$
\[f(x_1)+f(x_2)-2f(\frac{x_1+x_2}{2})=[f(x_1)-f(\frac{x_1+x_2}{2})]-[f(\frac{x_1+x_2}{2})-f(x_2)]\]
中值定理得
\[=\frac{x_1-x_2}{2}[f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]\]
其中$\xi_1\in (\frac{x_1+x_2}{2},x_1), \xi_2\in (x_2,\frac{x_1+x_2}{2})$，因此显然$\xi_1>\xi_2$
再用一次中值定理
\[=\frac{x_1-x_2}{2}(\xi_1-\xi_2)f''(\xi_0)>0\]
其中$\xi_0\in (\xi_2,\xi_1)$

isee

回复 4# 战巡

学习了，中值定理应用的典范

isee

回复 4# 战巡

这个证法真赞呢，直接可以到用二元一般情况
$$\lambda_1+\lambda_2=1$$
\[\lambda_1 f(x_1)+\lambda_2 f(x_2)-f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)=\bigg(\lambda_1 f(x_1)-\lambda_1 f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\bigg)-\bigg(\lambda_2 f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)-\lambda_ 2f(x_2)\bigg)\]

isee

今天算是初识 Jensen 不等式了，原来就是函数凹凸性代数形式，似乎二元时，就是数学分析中凹凸性的定义。

了解 Jensen 不等式后，终于明白利用 Jensen 不等式证明 Holder 的构造真是精彩，受教。

isee

天啦，均值不等式取自然对数后又是 Jensen 不等式。

===

真是忘记完了，原来这些（本楼及紧邻的楼上）就是数学分析函数凹凸性课后习题。。。。。

kuing

回复 8# isee

你赶紧入门，好玩得很

isee

回复 9# kuing

这是深不见底的壕坑啊...也只能你这样的天才才能看得清...

kuing

回复 10# isee

不玩难题就行，像你上面那样去了解各种常用不等式定理之间的“通路”就已经很有意思，也很有益处。

kuing

呐，俺也试试玩玩高数的，战巡已经玩了拉格朗，俺来玩太乐，希望没问题。

设 `h_1`, `h_2>0`，则由
\begin{align*}
f(x+h_1)&=f(x)+h_1f'(x)+\frac12h_1^2f''(\xi_1),\\
f(x-h_2)&=f(x)-h_2f'(x)+\frac12h_2^2f''(\xi_2),
\end{align*}
得
\[h_2f(x+h_1)+h_1f(x-h_2)=(h_1+h_2)f(x)+h_1h_2(h_1+h_2)\frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}2>(h_1+h_2)f(x),\]
即
\[f(x)<\frac{h_2}{h_1+h_2}f(x+h_1)+\frac{h_1}{h_1+h_2}f(x-h_2),\]
令 `x+h_1=x_1`, `x-h_2=x_2`, `h_2/(h_1+h_2)=\lambda`，则 `x_1>x_2`, `\lambda\in(0,1)`, `\lambda x_1+(1-\lambda)x_2=x`，上式即
\[f\bigl(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\bigr)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2).\]

isee

回复 12# kuing

这两数学大家真的是五笔敲的。。。

kuing

回复 13# isee

没看懂……

isee

回复 14# kuing


(这两数学大家)的名字（真的是五笔敲的。。。）