李明老师的猜想，未解决

realnumber

沈阳 李明(_8_7_5_3_9_1_8_3_5_) 2018-8-29 8:25:31
【百元征解】是否存在成等差(公差不为0)的四个自然数，使得四数之积为完全平方数？若存在，请举出一例；若不存在，请给出证明。

征解人:中国医科大学数学教研室李明。
对第一位解决该问题者奖励人民币100元。

isee

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弱化（？）一下，即，是否存在四个不同的完全平方数成等差数列？

战巡

回复 1# realnumber


0,1,2,3不就完了....

kuing

回复 3# 战巡

那语境估计还处在自然数从1开始的那个年代

realnumber

回复  战巡

那语境估计还处在自然数从1开始的那个年代
kuing 发表于 2018-8-29 23:59

估计是

realnumber

编程搜索了下100万内找不到解。
反证法尝试下，
假设存在a,d,n,有0<a-3d<a-d<a+d<a+3d,且$(a^2-9d^2)(a^2-d^2)=n^2$,不妨设(a,d)=m,(a-3d,a-d,a+d,a+3d)=k,若m≠1,
则四数a-3d,a-d,a+d,a+3d同时除以m,得到四数仍符合题意，于k也同样如此
因此不妨取m=k=1.
此时检验四数两两的公因数(a-3d,a-d)=(2d,a-d)=(2,a-d)=1(若a,d同奇或同偶与k=1不符，可见a,d一奇一偶，四数都为奇数)
(a-d,a+d)=(2d,a+d)=(2,a+d)=1
(a+d,a+3d)=1=(a-d,a+3d)=(a+d,a-3d)
(a-3d,a+3d)=(6d,a+3d)=(3,a+3d)=(3,a)
1.若$3\mid a$则(3,a)=3
四数a-3d,a-d,a+d,a+3d依次为$3t_1^2,t_2^2,t_3^2,3t_4^2$,其中$t_1,t_2,t_3,t_4$两两互素.
??
2.若$3\nmid a$则（3，a）=1,此时此四数a-3d,a-d,a+d,a+3d两两互素，即为2楼isee举的命题。
??

wayne

设四个数分别是$a_1=a-d,a_2=a,a_3=a+d,a_4=a+2d$，那么，$(a^2+ad-d^2)^2=N^2+d^4$， 这是一个勾股数。
于是根据勾股数通解得到两种解的形式：
1）$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=m^2-n^2$，进而发现可以继续套用勾股数通解，$m=x^2+y^2$，于是$a^2+ad=2(x^2+y^2)^2,d=2xy或者x^2-y^2$,编程，对$2(x^2+y^2)^2$进行因式分解,... ||||||||或者求解丢番图方程$2x^4+5x^2y^2+2y^4=N^2$
2）$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=2mn$，这种情况下，方差d是偶数，而且对称项的乘积$a_1a_4,a_2a_3$分别都是完全平方数.

wayne

数学研发论坛的lsr314 提供了资料，确认此题无非平凡解。

bbs.emath.ac.cn/thread-15513-1-1.html

hbghlyj

tieba.baidu.com/p/6225637274贴吧上再次出现了该问题。9楼引用了同样的资料(欧拉的证明)mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm，而10楼"飞龙傲天4"的证明貌似是错误的

定理：不存在四个不同的完全平方数，使得它们能构成等差数列
证明：设公差为d，则四个数分别为：
a^2 ......(1)
a^2+d=A^2 ......(2)
a^2+2d=B^2 ......(3)
a^2+3d=C^2 ......(4)
(2)+(3)+(4)：3a^2+6d=A^2+B^2+C^2，所以3/A^2+B^2+C^2；
同时，根据(2)、(3)、(4)式A、B、C必要一个为3整除，不妨令3/A,则3/B^2+C^2，如果B、C均不为3整除；则3/B^2-1+C^2-1+2，从而3/2,这是不可能的。
因此B、C必有一个为3整除，
根据3/A^2+B^2+C^2，知另一个也为3整除。所以A、B、C均为3整除。
从（4）知：3/a，从而3^2/d。
把(2)、(3)、(4）约去3^2，得到的形式与原式(2)、(3)、(4）完全一样。这样的证明可以无限进行下去，均得到A、B、C为3整除，这当然是不可能的（无穷递降法）。 证毕

"A,B,C必有一个被3整除"的说法是错误的.例如A,B,C可以都是3k+1型。

hbghlyj

t取连续整数值时,二次多项式p(t)能取的完全平方数值的最大值是多少?
特别地,求在t取六个连续整数时取完全平方数值的二次多项式p(t)
注意到数列361,121,1,1,121,361的二阶差分是常数,二次式$60t^2-60t+1$当t=-2,-1,0,1,2,3时取完全平方数值.
有联系的问题是：不交的有限整数集合U,V,是否存在整系数多项式p(t),当t$\in$U时取完全平方数值,当t$\in$V时不能取完全平方数值.例如,可以找到一个二次多项式f(t),使得f(1),f(9),f(8),f(6)是完全平方数,但f(1986)不是.

hbghlyj

该问题见于Crux Mathematicorum8(1982)281-282(Problem677)
W.Sierpinski,Elementary Theory of Numbers第74-75页有证明