三角形内一点分割的面积关系

hejoseph

已知三角形 $PBD$、$PCE$、$PAF$ 的面积分别是 $a$、$b$、$c$，三角形 $ABC$ 的面积是 $s$，则 $s$ 是方程
\begin{align*}
&abcs^4-abc(a+b+c)s^3-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3+4abc(ab+bc+ca)\right)s^2\\
&{}-abc\left(a^2b+b^2c+c^2a+3\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+5abc\right)s-2a^2b^2c^2(a+b+c)=0
\end{align*}
的正根（该方程仅有唯一的正根）。
三角形$PDC$、$PEA$、$PFB$ 的面积分别是 $a'$、$b'$、$c'$，令
\begin{align*}
t={}&xz(y+z)s^3-xz\left(xy+y^2+2xz+3yz\right)s^2-\left(x^2y^3+y^2z^3+x^2z^3+3xyz^2(y+z)+5x^2y^2z+6x^2yz^2\right)s\\
&{}-xyz\left(2x\left(y^2+z^2\right)+yz(y+z)+5xyz\right)\\
f(x,y,z)={}&xz\cdot\frac{yz^2s^2+z^2\left(x^2+2xy-y^2\right)s+xyz\left(xy-y^2-yz+2xz\right)}{t}
\end{align*}
则
\[
a'=f(a,b,c), b'=f(b,c,a), c'=f(c,a,b)
\]

isee

啧啧，能发现这样的关系也是费了不少心吧

kuing

回复 2# isee

应该也不是很难，首先，切变、伸缩都不改变结论，因此只需考虑 `AB=BC=h` 且 `AB\perp BC` 的情况即可，建系后，再设 `BD=\lambda h`, `BF=\mu h`, `\lambda`, `\mu\in(0,1)`，便可解出 `P` 的坐标，从而可计算出 `a`, `b`, `c` 这三个面积，最终得出
\[\left(\frac aS,\frac bS, \frac cS\right)=\left(\frac{\lambda(1-\lambda)\mu}{1-\lambda\mu}, \frac{(1-\lambda)^2\mu(1-\mu)}{(1-\lambda\mu)(\lambda+\mu-2\lambda\mu)}, \frac{\lambda(1-\mu)^2}{1-\lambda\mu}\right),\]
通过消去 `\lambda`, `\mu` 大概就可以得出那个公式。