一道数学期望题

dahool

甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为$\frac{3}{4}$，第偶数局，乙赢的概率为$\frac{3}{4}$.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，求甲乙两人玩的局数的数学期望.

Infinity

107213/29400，约为3.6467，不知道对不对。

dahool

回复 2# Infinity

应该是不对的

realnumber

第一局甲p,表示结果甲赢，概率为p=0.75,后面end表示结束。第5局开始没写出来，只需要把分布列写出来，再计算这个级数极限就可以了吧

tommywong

$\displaystyle x=\frac{6}{16}\times 2+\frac{10}{16}\times (x+2)=\frac{16}{3}$

dahool

回复 5# tommywong


这个是什么意思？
能解释下吗？

色k

我猜5楼的等式的意思是这样：
设所求期望为 `x`，它可视为以下两类情况的期望之和：
（1）两局就结束；
（2）大于两局；
对于（1），易知概率为 `3/4\times1/4+1/4\times3/4=6/16`，所以期望为 `6/16\times2`；
对于（2），由（1）知概率为 `10/16`，而由于前两局一人胜一局，故从第三局起相当于回到原点，由所设知局数期望为 `x+2`，所以期望为 `10/16\times(x+2)`。
综上，即有\[x=\frac6{16}\times2+\frac{10}{16}\times(x+2),\]解得 `x=16/3`。
也不知道道理上或者表达上有没有问题。

色k

或者也可以这样理解：
这玩法至少都要玩两局，那么剩余还能玩多少局？同楼上的分析，还能玩即回到原点，故还能玩 `x` 局，而还能玩的概率是 `10/16`，因此有\[x=2+\frac{10}{16}\times x,\]结果也是一样的。
感觉这样好理解一些，但表达上肯定有瑕疵，至少“玩 `x` 局”就有点……

游客

几何分布？

dahool

回复 7# 色k



这里理解不了呀，确实是回到原点的，全局数学期望也变成$x+2$，但是为什么是$\frac{10}{16}(x+2)$，怎么都分给继续的概率了，不是得再有结束概率$\frac{6}{16}\times2$嘛

kuing

回复 10# dahool

我不太会表达，那8#的可以理解吗？

战巡

回复 1# dahool

其实就是个随机行走问题嘛
令第$n$局过后甲得分减去乙得分为$X_n$，则$X_n\in\{-1,0,1\}$时游戏可以继续，否则终止
由于只有$n$为奇数时$X_n=-1,1$才是可能的，直接做一个跳跃矩阵好了
\begin{array}{c|cc}
\hline
  & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
-2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0\\
1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
其中$-2,2$是两个吸收态，剩下就是按部就班的事了
初始状态$X_0=0$确定
\[E(n)=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}·
\left(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
0 & \frac{3}{4} & 0\\
\frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}\\
0 & \frac{3}{4} & 0\\
\end{pmatrix}
\right)^{-1}·
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\
\end{pmatrix}=\frac{16}{3}
\]

dahool

回复 11# kuing
懵懵懂懂

dahool

回复 12# 战巡

这个是真的不懂了，谢谢！谢谢！

战巡

回复 14# dahool

去看随机过程的内容就知道了，这种题在随机过程里面算是很基础的

dahool

回复 15# 战巡


好吧，有机会学习下