轮换不等式

dahool

若$x,y,z>0$，且$x+y+z=3$，证明：$$x^2+y^2+z^2\leqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$$

色k

参见《撸题集》P947~948 题目 6.10.21

dahool

回复 2# 色k

我就猜到了应该能有，搜索不了呀，我正在查看
哈哈，能否教下怎么搜索？

色k

如果我说我是通过搜索两个句号找到的，你信不信

dahool

回复 4# 色k


看见那两个句号了

其妙

回复  色k


看见那两个句号了
dahool 发表于 2018-9-4 13:26

哪里来的神马句号？

zht13140

已知$x,y,x\inR^+,x+y+z=3$,求证：$$x^2+y^2+z^2\leqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$$

kuing

回复 4# zht13140

看《撸题集》P.947~948 题目 6.10.21

zht13140

犹如一个智障一般。
一方面，没想明白怎么利用$(x+y+z)^3\geqslant \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$来证明$x^2+y^2+z^2\leqslant \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$
另一方面，$(x+y+z)^3\geqslant \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$，代入$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$，无法得到$108abc(a^2+b^b+c^2)^3\leqslant(a+b+c)^6(a^3+b^3+c^3+abc)$
疯了

kuing

回复 7# zht13140

pxchg1200 的意思是：对 `(x+y+z)^3\geqslant\frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)` 代入 `x = a/b`, `y = b/c`, `z = c/a` 得到
\[\left( \frac ab+\frac bc+\frac ca \right)^3\geqslant\frac{27}4\left( \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}+1 \right),\] 于是要证明 `\frac ab+\frac bc+\frac ca\geqslant\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}` 就只需证
\[\frac{27}4\left( \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}+1 \right)\geqslant\left( \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \right)^3,\]此式去分母之后即 `108abc(a^2+b^b+c^2)^3\leqslant(a+b+c)^6(a^3+b^3+c^3+abc)`（题目 6.10.21）。

zht13140

回复 8# kuing

我的理解有问题啊，谢谢