求矩形内接三角形面积

isee

如图，$ABCD$为矩形，$\triangle ABE$，$\triangle CEF$，$\triangle ADF$的面积分别为5，4，3，求$\triangle AEF$的面积.

战巡

回复 1# isee

硬来就行了
令$BE=a,CE=b, CF=x,DF=y$
\[\begin{cases}
(x+y)a=10...(1)\\
bx=6...(2)\\
(a+b)y=8...(3)
\end{cases}\]
由(3)得到$by=8-ay$，于是
\[S_{ABCD}=(x+y)(a+b)=(x+y)a+bx+by=10+6+8-ay=24-ay\]
又从$(1)\times(3)$得到
\[(x+y)(a+b)ay=80\]
这两条可得出
\[S_{ABCD}=24-\frac{80}{S_{ABCD}}\]
\[S_{ABCD}=20\]
\[S_{△AEF}=20-3-4-5=8\]

游客

(S-8)(S-10)=6S,  s=S－12.

乌贼

特殊值法

isee

回复 4# 乌贼

这个特殊值实在是太巧合了，因为计算后的结果表明 E点正好是边的中点

huing

仿射变换下面积比不变，故存在一个满足题设面积关系的特殊矩形——正方形。设正方形的边长AB=AD=a，则有
BE=10/a, DF=8/a, EC=a-10/a, FC=a-8/a
由EC*FC=6得关于a的方程   (a-10/a)(a-8/a)=6
解得 a^2=20或4（舍），所以S△AEF=20-(3+4+5)=8

huing

(S-8)(S-10)=6S,  s=S－12.
游客 发表于 2018-9-13 09:03

这个简明。

敬畏数学

回复 6# huing

其妙

我以前解过这道题（不知道发在那个论坛，好像是好推？），现在不会解了