垂足三角形面积的类比问题

hejoseph

若 $P$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $R$，$\triangle ABC$ 的面积为 $S$，点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 各边所在直线的垂足形成的三角形的面积为 $S'$，则
\[
S'=\frac{\left|R^2-OP^2\right|}{4R^2}S
\]
Simson 线定理是这个公式的直接推论。
那么对于四面体的垂足四面体又有没有类似的结论？

hejoseph

那个公式的证明