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本帖最后由 Czhang271828 于 2022-5-24 20:26 编辑 如何求出常挠率曲线的一般表达式?
前置知识: 正则曲线的活动标架
我们一般假定曲线 $\gamma(t)$ 是分段正则的, 即曲线长度
$$
l_{t_0,t}=\int_{t_0}^t |\gamma(w)'|\mathrm dw
$$
随参数严格单调递增. 从而不妨将弧长 $s$ 作为参数, 从而弧长参数曲线 $\gamma(s)$ 满足 $|\gamma'(s)|=1$. 相应的定义切向量 $t(s)=\gamma'(s)$, 法向量满足 $t(s)'=\kappa(s)\cdot n(s)$, 还有一个由 $t\times n$ 决定的单位向量 $b(s)$.
此处 $\{t,n,b\}$ 即随 $s$ 变化的活动正交框架. 可求得
$$
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm ds}
\begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&\kappa&0\\-\kappa&0&-\tau\\0&\tau&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}=A(s)\cdot \begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}.
$$
其中 $\kappa$ 为曲率, $\tau$ 为挠率.
补充一下这个矩阵的计算过程, 首先 $A(s)$ 将正交矩阵转化为正交矩阵, 从而对任意 $Q\in O_3(\mathbb R)$ 总有
$$
0=I'=\left< A(s) Q,A(s)Q\right>'=\left< (A(s)+A(s)^T)'Q,Q\right>.
$$
因此 $A(s)$ 为反对称的. $a_{12}$ 与 $a_{13}$由 $t'=\kappa n$ 得出, $a_{23}$ 由挠率定义式
$$
\tau=-\left<n', b\right>
$$
给出. 此处的挠率加了负号 (好像只有 Do Carmo 一个人这么干, 不过个人接触的第一本微分几何就是 Do Carmo 的), 好在对推导常挠率曲线没啥影响.
注意: 对空间曲线而言, $\kappa\geq 0$; 对平面曲线而言, 默认 $n$ 为 $t$ 逆时针转 $\pi/2$ 所得, 因此 $\kappa<0$ 是有可能的.
对一般参数的正则曲线, 容易计算得
$$
\begin{align*}
\kappa &=\dfrac{|\gamma'(t)\times\gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3},\\
\tau&=\dfrac{[\gamma'''(t),\gamma''(t),\gamma'(t)]}{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|^2}.
\end{align*}
$$
对正则曲线有 $|\gamma'|=1$, 从而公式可以简化为
$$
\begin{align*}
\kappa &=|\gamma'(t)\times\gamma''(t)|,\\
\tau&=\dfrac{[\gamma'''(t),\gamma''(t),\gamma'(t)]}{|\gamma''(t)|^2}.
\end{align*}
$$
正文: 常挠率的空间正则曲线
若 $\tau\equiv 0$, 记 $\theta(s)$ 为法方向旋转角, 则 $\theta(s)=\int\kappa(w)\mathrm dw+\varphi$. 自然
$$
\gamma(s)=(a+\int\cos\theta,b+\int\sin\theta)
$$
为一切符合要求之曲线.
对非零挠率曲线, $b(s)$ 决定了曲率与挠率的绝对值: 注意到
$$
\begin{align*}
b'&=\tau n\\
b''&=\tau'n-\tau(\kappa t+ \tau b)
\end{align*}
$$
从而 $|\tau| =|b'|$, $\kappa=\sqrt{\dfrac{|b'\times b''|^2-|b'|^6}{|b'|^4}}$.
在确保 $\kappa$ 有定义的情况下, 在球面 $B_{|\tau|}(O)$ 上的寻找光滑函数 $b'$ (不用管 $b$) 即可. 由于 $\tau$ 为常数, $\kappa$ 由 $b'$ 确定, 从而常微分方程
$$
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm ds}
\begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&\kappa&0\\-\kappa&0&-\tau\\0&\tau&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}=A(s)\cdot \begin{pmatrix}
t\\n\\b
\end{pmatrix}
$$
在给定初值的情况下有唯一解. 我们不失一般性地, 设曲线在原点出发, 初始的 $(t,n,b)$ 恰为 $(\hat x,\hat y,\hat z)$ 即可.
部分漂亮的结果 arxiv.org/pdf/1206.7086.pdf |
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Czhang271828
发表于 2022-5-23 19:32
