一道关于两个正三角形的题目（证明线段垂直）

isee

$\triangle FEC$旋转至$\triangle FAP$可证明$\triangle PAC\cong\triangle DCB$.
Tesla35 发表于 2018-10-6 23:35

主楼的漂亮解法呀，学习了，原来，$$\angle FAC+\angle FEC=\angle BCD.$$

这和此图
证法中的一种解是一脉相承的。

isee

$\triangle FEC$旋转至$\triangle FAP$可证明$\triangle PAC\cong\triangle DCB$.
Tesla35 发表于 2018-10-6 23:35

好解，3#推广一样适应此法，只全等变成了相似，辅助线少的巧解，服气。

kuing

回复 20# Tesla35

回复 22# isee

看了半天才反应过来，确实也适用于3#的推广，甚至连同我后来得到的数量关系\[\frac{AF}{BC}=\frac\lambda{2\sin\theta}\]也能瞬间得出。585真牛！

游客

isee

回复 24# 游客

学习了。

不用说了，游客一定是一位有着丰富的高中数学经验的资深的一线人员。

高中有三个常见的轨迹：阿氏圆，定幂和圆，定幂差线。

而24#实际就是将定幂差线完整的证明了一次，而且还是三角+向量。

isee

而在平面几何中，定幂差线，一般是这么用的

若线段$AC$，$BD$，则$BA^2-BC^2=DA^2-DC^2\iff AC \perp BD$。

因此24#得到圈1也便结束了，不过，后半段，游客实际上用三角+向量朴实而高效的证明了这个定理。

===

具体即

定差幂线的证明：

$$
\left\{\begin{aligned}\vv{BA}^2=\left(\vv{BD}+\vv{DA}\right)^2=\vv{BD}^2+\vv{DA}^2+2\vv{BD}\cdot\vv{DA},\\\vv{BC}^2=\left(\vv{BD}+\vv{DC}\right)^2=\vv{BD}^2+\vv{DC}^2+2\vv{BD}\cdot\vv{DC},\end{aligned}\right.
$$

两式相减，结合$BA^2-BC^2=DA^2-DC^2$，有

$$0=\vv{BD}\cdot\vv{DA}-\vv{BD}\cdot\vv{DC}=\vv{BD}\cdot\vv{CA}.$$

乌贼

$ FCNM  $为平行四边形

乌贼

回复 13# isee