一个迭代数列问题

力工

已知数列${a_n}:a_1=a(0<a<1),a_{n+1}=a^{a_n}$,试比较$a_{20},a_{25},a_{30}$的大小。

色k

别被指数迭代吓倒了，其实很简单，仅用一条地球人都知道的性质即可：`0<a<1` 时 `f(x)=a^x` 是减函数，于是有
\begin{align*}
0<a<1&\riff a^0>a^a>a^1\\
&\riff 1>a_2>a_1\\
&\riff a^1<a^{a_2}<a^{a_1}\\
&\riff a_1<a_3<a_2\\
&\riff a^{a_1}>a^{a_3}>a^{a_2}\\
&\riff a_2>a_4>a_3\\
&\riff a^{a_2}<a^{a_4}<a^{a_3}\\
&\riff a_3<a_5<a_4\\
&\riff \cdots,
\end{align*}
如此类推，最终得到整个数列的大小关系为
\[a_1<a_3<a_5<\cdots <a_{2k-1}<\cdots<a_{2k}<\cdots <a_6<a_4<a_2.\]

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