F随C运动的轨迹是双曲线

hbghlyj

点A,B,
点C在y轴上,
过B作y轴平行线交CA于D,
过D作BD垂线交AB于E,
过E作AB垂线交CD于F,
求证:F随C运动的轨迹是双曲线

kuing

回复 5# isee

来个动图：


由图猜测：该双曲线的渐近线一条与 `C` 所在直线平行，另一条与 `AB` 垂直。

kuing

暂时想不出几何方法，用代数方法吧，尽管很无趣。

首先将坐标系平移，使得 `A` 为原点，设 `B(a,b)`, `D(a,c)`，其中 `a`, `b` 为非零常数，`c` 为变量，容易求出 `E` 的坐标为 `E(ac/b,c)`，于是直线 `EF` 的方程为
\[y-c=-\frac ab\left( x-\frac{ac}b \right),\]
将其与直线 `AD` 的方程 `y=cx/a` 联立，即可解得 `F` 的横纵坐标分别为
\[x=\frac{ac(a^2+b^2)}{b(a^2+bc)},\ y=\frac{c^2(a^2+b^2)}{b(a^2+bc)},\]
消去 `c`，可得
\[y=\frac{abx^2}{a^3+ab^2-b^2x},\]
这就是 `F` 的方程，此方程再经平移后，必然可以写成 `y=px+q/x`（`q\ne0`）的形式，所以必为双曲线。

另外，对于我在楼上对渐近线的猜测，上述方程也给予了肯定，这是因为 `\lim_{x\to\infty}y/x=-a/b`。

huing

几何方法要用到射影概念。在射影几何中，这几乎是不证自明的。
记x轴方向的无穷远点为X, EF方向的无穷远点为f
线束AD与线束XD(即平行线簇ED）形成透视，线束XE（即平行线簇ED）与线束fE（即平行线簇EF）形成透视，故线束AD与线束fE是射影对应线束。
所以两线束的对应直线的交点F的轨迹必为一条圆锥曲线。
曲线有一个显然的渐近线方向——AB的垂向（CA⊥AB时，与EF交于f），故必为一条双曲线。
另一条渐近线方向也不难看出是y轴方向。

以射影几何的常识，两个垂直可以更一般化——DE，EF各平行于一个固定方向就行，即 X 和 f 可以在无穷远线上任取。