关于空间多边形的单位向量

wwdwwd117

看图

huing

用归纳法简单得证。
首先，n=3时，$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+I_{3,1}}=1-2r/R <1=n-2$，成立。
其中 r 和 R 分别是三角形的内径和外径。
假定n=k时不等式成立，即$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1}}<k-2$.
对于n=k+1, 有
$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,k+1}+I_{k+1,1}}$
$=\abs{(I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1})+(I_{1,k}+I_{k,k+1}+I_{k+1,1})}$
$≤\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1}}+\abs{I_{1,k}+I_{k,k+1}+I_{k+1,1}}$
$<(k-2)+1=(k+1)-2=n-2$.
根据数学归纳法，命题对所有不小于3的自然数 n 成立.

wwdwwd117

自己猜的，想了好几天，原来是用归纳法如此有效！

wwdwwd117

回复 3# huing


    那么类似的另一个问题，空间凸N面体，所有面的由内向外的单位法向量和的模小于N-2，也一样证了。

huing

回复 5# wwdwwd117
当然，这其实是同一个问题。

归纳法的第二步也可以这样做。
假定$3\leqslant n\leqslant k$ 时成立$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{n,1}}<n-2$.
对于$k+1\leqslant n\leqslant 2k-2$, 有
$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k-1,k}+I_{k,k+1}+\cdots+I_{n,1}}$
$=\abs{(I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k-1,k}+I_{k,1})+(I_{1,k}+I_{k,k+1}+\cdots+I_{n,1})}$
$≤\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1}}+\abs{I_{1,k}+I_{k,k+1}+\cdots+I_{n,1}}$
$<(k-2)+((n-k+2)-2)=n-2$.
根据数学归纳法，命题对所有不小于3的自然数 n 成立.
这是翻倍延伸，更快地覆盖自然数集。

huing

3#是把 n 边形分裂成了一个3角形和一个(n-1)边形, 6#是把多边形分裂成了两个边数接近较小多边形，都是应用数学归纳法。把分裂做到极限，可以把多边形分割成（n-2）三角形，从而直接证明\[\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{n,1}}< n-2\].

isee

把原2#我的回复删除了，完全不是一个方向