网友问的三元不等式 sum1/(a^2+bc)>=12/(a+b+c)^2

kuing

长风大侠  2018-10-22 10:40

感觉似曾相识，但查了撸题集和论坛都没查到，不过这都不要紧，要紧的是这不等式看似不难，我却想来想去都想不出简单的证法，只想出难看的：

不妨设 `a=\min\{a,b,c\}`，先证明
\[\frac1{b^2+ca}+\frac1{c^2+ab}\geqslant\frac4{\frac34(b+c)^2+a(b+c)-bc}, \quad(*)\]
将上式去分母因式分解再配方后，等价于
\[(b-c)^2\bigl((b+c-2a)^2+2(b-c)^2+10bc-5ab-5ac\bigr)\geqslant0,\]
显然成立，于是，令 `b+c=t`，由式 (*) 及柯西，有
\[\sum\frac1{a^2+bc}\geqslant\frac1{a^2+bc}+\frac4{\frac34t^2+at-bc}\geqslant\frac9{a^2+\frac34t^2+at},\]
那么要证原不等式只需证
\[9(a+t)^2\geqslant12\left( a^2+\frac34t^2+at \right),\]
化简即 `3a(2t-a)\geqslant0`，由于 `t\geqslant2a`，所以不等式得证。

注：取等条件为 `a=0` 且 `b=c` 及其轮换，所以依照原题的正数条件是取不了等的。

kuing

网友给我发了某网友的一个证明，我才想起在计爷的书上看过这个：

游客

这样看来，感觉这个就只是个课后习题。。。。

yao4015

确实见过, 在 Vasc 的书中见过原题. 证明并不简单.