关于三角函数指数函数复合函数的不等式链

青青子衿

\[2+\sin^2x\le e^{\sin x}+e^{-\sin x}\le2\cos^2x+\left(e+\frac{1}{e}\right)\sin^2x\]

kuing

左边就是 `2+x^2\le e^x+e^{-x}` 这是熟知嘀……右边有空再瞧瞧

敬畏数学

回复 2# kuing
我玩下左边简单初级的，证明：$e^x>=1+x+x^2$

色k

回复  kuing
我玩下左边简单初级的，证明：$e^x>=1+x+x^2$
敬畏数学 发表于 2018-10-23 14:29

最后一项忘记除以二

敬畏数学

回复 4# 色k
嗯！谢谢！

kuing

回复 5# 敬畏数学

可惜用 `e^x\ge1+x+x^2/2` 无法证明 `e^x+e^{-x}\ge2+x^2`，因为 `e^x\ge1+x+x^2/2` 对 `x<0` 并不成立。

事实上，应该用 `e^x\ge1+x+x^2/2+x^3/6`，这是在实数范围成立。
这样就可以同理得 `e^{-x}\ge1-x+x^2/2-x^3/6`，两式相加即 `e^x+e^{-x}\ge2+x^2`。

kuing

至于右边，也就是
\[e^x+e^{-x}\leqslant 2(1-x^2)+(e+e^{-1})x^2,\quad x\in [-1,1].\]

所以其实这题的三角函数纯粹是吓人嘀，因为它唯一的作用就是为右边提供 `[-1,1]` 的范围而已。

证明也很简单，就是不断求导判断单调性就是了，由于两边均为偶函数，只需考虑 `x\in[0,1]` 即可，令
\[f(x)=2(1-x^2)+(e+e^{-1})x^2-e^x-e^{-x},\quad x\in [0,1],\]
则 `f'''(x)=e^{-x}-e^x<0`，故 `f''(x)\searrow`，而 `f''(0)=2(e+e^{-1})-6>0`, `f''(1)=e+e^{-1}-4<0`，故 `f''(x)` 先正后负，即 `f'(x)\nearrow \searrow `，而 `f'(0)=0`, `f'(1)=(3-e)(1-e)/e<0`，故 `f'(x)` 先正后负，即 `f(x)\nearrow \searrow `，而 `f(0)=f(1)=0`，所以当 `x\in[0,1]` 时恒有 `f(x)\geqslant0`，得证。