这两个性质如何证明

lemondian

这两个性质如何证明：（由图象是很容易理解，但如何严格证明？）
设函数$y=f(x)的图象关于直线x=m对称：$
(1)若函数$（-\infty ，m]$单调递增，在$[m,+\infty )$上单调递减，则$|x_1-m|<|x_2-m| \liff\riff f(x_1)>f(x_2)$;
(2)若函数$（-\infty ，m]$单调递减，在$[m,+\infty )$上单调递增，则$|x_1-m|<|x_2-m| \liff\riff f(x_1)<f(x_2)$。
哎，等价于这个符号我打不出来。。。

isee

回复 1# lemondian

等价符号 \iff

kuing

回复 2# isee

会用我自定义的 \liff 和 \riff 却不会用自带的 \iff ……也算是难得……

isee

回复 3# kuing

所以都怪你，哈哈哈

abababa

回复 1# lemondian

只证第一个。
当$x_1, x_2 \le m$时，相当于证明$m-x_1 < m-x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)$，因为在这区间里单调递增，由定义可知结论正确。
当$x_1, x_2 \ge m$时同理结论正确。
当$x_1 \le m, x_2 \ge m$时，相当于证明$m-x_1 < x_2-m \iff f(x_1)>f(x_2)$。设$x_2$关于$m$的对称点为$x_2'$，则$x_1, x_2' < m, x_2-m=m-x_2', f(x_2)=f(x_2')$，于是只要证明$m-x_1 < m-x_2' \iff f(x_1) > f(x_2')$，再次由单调的定义可知结论正确。
当$x_1 \ge m, x_2 \le m$时，同理可知结论正确。

游客

lemondian

谢谢各位。