数列前10项和范围问题

敬畏数学

数列$a_n$的各项均小于1，a$_1=\frac{1}{2}$,$a_{n+1}^2-2a_{n+1}=a_n^2-a_n$,则前10项和$s_{10}\in$_____.
A.$(0,\frac{1}{2} ), B.(\frac{1}{2},\frac{3}{4} ), c.(\frac{3}{4},1), D.(1,2)$

kuing

明显是错题，首项给定了，后面的项虽然不唯一，但个数也是有限的，比如 a2 最多两个，a3 最多四个，如此类推，那么 s10 也是有限个，它的取值范围不可能是个连续的区间。

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回复 2# kuing
应该是问：前10项和属于——？

realnumber

用二次方程的求根公式
得到$a_{n+1}=1-\sqrt{a_n^2-a_n+1}$，可以证明$\frac{a_{n+1}}{a_n}<0.5$
用几何画板算了下$S_{10}$很接近0.74957
猜测也许是$S_n$的极限值

敬畏数学

此题有解答吗？高手。

realnumber

回复 5# 敬畏数学


    4楼猜是可以修改成难看的办法，多保留几项，放缩等比时，让公比尽可能小

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$  a_{n+1}^2-2a_{n+1}= a_n^2-a_n\Longrightarrow\sum_{k=1}^9( a_{k+1}^2-a_{k}^2)=\sum_{k=1}^9( a_{k+1}-a_k)+ \sum_{k=1}^9a_{k+1}\Longrightarrow a_{10}^2-a_{1}^2=a_{10}-a_{1}+(S_{10}-a_{1})\Longrightarrow S_{10}=\frac{1}{2}+(a_{10}-\frac{1}{2})^2$，$a_{n+1}^2-a_{n}^2=2a_{n+1}-2a_{n}+a_{n}\Longrightarrow (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}-a_{n}-2)=a_{n}，a_{n}>0\Longrightarrow a_{n+1}<a_{n}\Longrightarrow 0<a_{10}<\frac{1}{2} \Longrightarrow S_{10}\in (\frac{1}{2},\frac{3}{4})$