若 $4^n+2^n+1$ 为素数，则 $n$ 为 3 的方幂．

chudengshuxue

若 $4^n+2^n+1$ 为素数，则 $n$ 为 3 的方幂．

realnumber

用程序检查了下n=1~31,当这个数为素数时，n=3,9
n=27不是素数，可以分解为2593*71119*97685839，

tommywong

$\text{設 } k=v_3(n), n=3^k (3q+r), r=1,2$

$(2^{3^k}-1)(4^n+2^n+1)\equiv
(2^{3^k}-1)(4^{3^k(3q+r)}+2^{3^k(3q+r)}+1)\equiv
(2^{3^k}-1)(4^{3^k r}+2^{3^k r}+1)$

$\equiv \begin{cases}
(2^{3^k}-1)(4^{3^k}+2^{3^k}+1)\equiv 2^{3^k 3}-1
\equiv 0\pmod{8^{3^k}-1}\\
(2^{3^k}-1)(4^{3^k 2}+2^{3^k 2}+1)
\equiv 2^{3^k 5}+2^{3^k 3}+2^{3^k}-2^{3^k 4}-2^{3^k 2}-1
\equiv 0\pmod{8^{3^k}-1}\end{cases}$

$8^{3^k}-1|(2^{3^k}-1)(4^n+2^n+1)
\Rightarrow 4^{3^k}+2^{3^k}+1|4^n+2^n+1$

tommywong

$k=v_p(n),n=p^k(pq+r),r\neq 0$

$\displaystyle (a^{p^k}-1)\sum_{m=0}^{p-1} a^{nm}
\equiv (a^{p^k}-1)\sum_{m=0}^{p-1} a^{p^k rm}
\equiv (a^{p^k}-1)\sum_{m=0}^{p-1} a^{p^k m}\equiv 0
\pmod{a^{p^{k+1}}-1}$

$\displaystyle \sum_{m=0}^{p-1} a^{p^k m}|\sum_{m=0}^{p-1} a^{nm}$

chudengshuxue

这是啥意思啊？

isee

回复 3# tommywong


tommywong 也太逗了，楼主直接图片，你直接公式代码。